对傅里叶变换、拉氏变换、z变换详细剖析

1、关于傅里叶变换变换？答：fourier变换是将连续的时间域信号转变到频率域；它可以说是laplace变换的特例，laplace变换是fourier变换的推广，存在条件比fourier变换要宽，是将连续的时间域信号变换到复频率域（整个复平面，而fourier变换此时可看成仅在jΩ轴）；z变换则是连续信号经过理想采样之后的离散信号的laplace变换，再令z=e^sT时的变换结果（T为采样周期），所对应的域为数字复频率域，此时数字频率ω=ΩT。——参考郑君里的《信号与系统》。

傅里叶变换的实质是将一个信号分离为无穷多多正弦/复指数信号的加成，也就是说，把信号变成正弦信号相加的形式——既然是无穷多个信号相加，那对于非周期信号来说，每个信号的加权应该都是零——但有密度上的差别，你可以对比概率论中的概率密度来思考一下——落到每一个点的概率都是无限小，但这些无限小是有差别的。所以，傅里叶变换之后，横坐标即为分离出的正弦信号的频率，纵坐标对应的是加权密度。对于周期信号来说，因为确实可以提取出某些频率的正弦波成分，所以其加权不为零——在幅度谱上，表现为无限大——但这些无限大显然是有区别的，所以我们用冲激函数表示。已经说过，傅里叶变换是把各种形式的信号用正弦信号表示，因此非正弦信号进行傅里叶变换，会得到与原信号频率不同的成分——都是原信号频率的整数倍。这些高频信号是用来修饰频率与原信号相同的正弦信号，使之趋近于原信号的。所以说，频谱上频率最低的一个峰（往往是幅度上最高的），就是原信号频率。傅里叶变换把信号由时域转为频域，因此把不同频率的信号在时域上拼接起来进行傅里叶变换是没有意义的——实际情况下，我们隔一段时间采集一次信号进行变换，才能体现出信号在频域上随时间的变化。我的语言可能比较晦涩，但我已尽我所能向你讲述我的一点理解——真心希望能对你有用。我已经很久没在知道上回答过问题了，之所以回答这个问题，是因为我本人在学习傅里叶变换及拉普拉斯变换的过程中着实受益匪浅——它们几乎改变了我对世界的认识。傅里叶变换值得你用心去理解——哪怕苦苦思索几个月也是值得的——我当初也想过：只要会算题就行。但浙大校训“求是”时时刻刻鞭策着我追求对理论的理解——最终经过很痛苦的一番思索才恍然大悟。建议你看一下我们信号与系统课程的教材：化学工业出版社的《信号与系统》，会有所帮助。（另一种说法）对于周期函数f，傅立叶变换就是把这个函数分解成很多个正弦函数fn的和，每个fn的频率是f的n倍。所谓二次谐波，就是函数f2的频率为f两倍的那个函数。（另二种说法）周期信号的傅里叶级数的意义是信号在每一个离散频率分量处的幅度；非周期信号的傅里叶变换可以理解为周期无穷大的周期信号的傅里叶级数。这时，离散的频率逐渐变成了连续的频率，某一点频率处的频谱密度值是没有意义的，如同概率密度函数，你只有求那一点附近一小段频率内与频谱密度函数形成的面积值才有意义，才表示了信号在那一频率点的幅度。具体参考《信号与系统》郑君里版清华大学出版社P91,P111。
2、什么是Laplace变换？答：

（第1种说法）拉氏变换的作用：

（1）求解方程得到简化。且初始条件自动包含在变换式里。

（2）拉氏变换将“微分”变换成“乘法”，“积分”变换成“除法”。即将微分方程变成代数方程。拉氏变换将时域中卷积运算变换成“乘法”运算。

（3）利用系统函数零点、极点分布分析系统的规律。

在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。

现在给你举个例子：我们学控制的时候，比如一个二阶电路RLC系统微分方程是：LC*Uc''+RC*Uc'+Uc=U设想你借这个微分方程多费劲，那么你用laplace变换，微分方程变为LC*s^2*Uc+RCs*Uc+Uc=U然后Uc=U/(LCs^2+RCs+1)然后可以查表直接得出结果（就跟查积分表一样方便），这不比你解微分方程，强多了么！

（第2种说法）拉普拉斯变换提供了一种变换定义域的方法，把定义在时域上的信号（函数）映射到复频域上（要理解这句话，需要了解一下函数空间的概念--我们知道，函数定义了一种“从一个集合的元素到另一个集合的元素”的关系，而两个或以上的函数组合成的集合，就是函数空间，即函数空间也是一个集合；拉普拉斯变换的“定义域”，就是函数空间，可以说，拉普拉斯变换就是一种处理函数的函数。由于拉普拉斯变换定义得相当巧妙，所以它就具有一些奇特的特质），而且，这是一种一一对应的关系（只要给定复频域的收敛域），故只要给定一个时域函数（信号），它就能通过拉普拉斯变换变换到一个复频域信号（不管这个信号是实信号还是复信号），因而，只要我们对这个复频域信号进行处理，也就相当于对时域信号进行处理（例如设f(t)←→F(s),Re[s]>a，则若我们对F(s)进行时延处理，得到信号F(s-z)，Re[s]>a+Re[z],那么就相当于我们给时域函数乘以一个旋转因子e^zt，即f(t)e^zt←→F(s-z),Re[s]>a+Re[z]；只要对F(s-z)进行反变换，就可以得到f(t)e^zt）。

拉普拉斯变换被用于求解微分方程，主要是应用拉普拉斯变换的几个性质，使求解微分方程转变为求解代数方程（因为求解代数方程总比求解微分方程容易得多！而且，（可以很方便地）对求解结果进行拉普拉斯反变换从而得到原微分方程的解）。

我们总可以容易地画出实变函数的图像（绝大多数函数的确如此），但我们难以画出一个复变函数的图象，这也许是拉普拉斯变换比较抽象的原因之一；而另外一个原因，就是拉普拉斯变换中的复频率s没有明确的物理意义。关于特征根和复数，建议提问者再去看看书中的定义，应该不难理解。
3、什么是z变换？

在离散系统分析中为简化运算而建立的对函数序列的数学变换，其作用与拉普拉斯变换在连续系统分析中的作用很相似。Z变换对求解线性差分方程是一种简单而有效的方法。在采样控制理论中,Z变换是主要的数学工具。Z变换还在时间序列分析、数据平滑、数字滤波等领域有广泛的应用。当一个连续信号x(t)通过每隔T秒钟闭合一次的采样开关时，就得到一个函数序列x(kT)(k＝0,1,2,…)。函数序列x(kT)在0、T、2T、…时刻上具有与连续信号x(t)相同的函数值，而在所有其他时刻上均恒为零。4、什么是FFT（快速fourier变换）？答：音频处理里面常用。就是把波形（时域信号）变换到频域，使得用户更好的分析。频域就是类似于“千千静听”的频谱。这个过程叫“离散傅立叶变换”（DFT）。而FFT是DFT的一种高效快速算法。快速傅立叶变换算法的原理是（来自百度百科）：快速傅氏变换（FFT）是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。设x(n)为N项的复数序列，由DFT变换，任一X（m）的计算都需要N次复数乘法和N-1次复数加法，而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法，

一次复数加法等于两次实数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”（四次实数乘法和四次实数加法），那么求出N项复数序列的X（m）,即N点DFT变换大约就需要N2次运算。当N=1024点甚至更多的时候，需要N2=1048576次运算，在FFT中，利用WN的周期性和对称性，把一个N项序列（设N=2k,k为正整数），分为两个N/2项的子序列，每个N/2点DFT变换需要（N/2）2次运算，再用N次运算把两个N/2点的DFT变换组合成一个N点的DFT变换。这样变换以后，总的运算次数就变成N+2（N/2）2=N+N2/2。继续上面的例子，N=1024时，总的运算次数就变成了525312次，节省了大约50%的运算量。而如果我们将这种“一分为二”的思想不断进行下去，直到分成两两一组的DFT运算单元，那么N点的DFT变换就只需要Nlog2N次的运算，N在1024点时，运算量仅有10240次，是先前的直接算法的1%，点数越多，运算量的节约就越大，这就是FFT的优越性。