用实例深入阐述双端口分析和回归比分析

负反馈电路分析最常用的方法是双端口分析 (TPA) 和回归比分析 (RRA)，两者之间的不同之处及相似之处常令人困惑。本设计实例用大家熟悉的电路实例深入阐述这两种技术。

负反馈电路分析最常见的方法是双端口分析（TPA）和回归比（RRA）分析。两者既有不同，也有相似，常让人困惑，我将通过熟悉的电路实例来澄清这两者。在图1的两个框图中，使用下标TP和RR来区分双端口和回归比这两种类型。

具体而言，αTP和αRR是开环增益，而ßTP和ßRR是反馈系数。图1a假设是单向块，图1b则更通用，因为它还考虑了误差放大器周围的馈通（feedthrough），如增益块αft所表示的。

图1：（a）双端口（TP）和（b）回归比（RR）分析的负反馈框图。

双端口分析（TPA）

取决于sI和sO是电压还是电流，有四种可能的拓扑结构，如图2中的运放所示。在每个分图题中，连字符前面的一项是指输入相加的方式（串联电压，并联电流），而连字符后面的一项是指反馈网络采样sO以产生反馈信号sF的方式（并联电压，串联电流）。对每个拓扑结构，闭环增益呈现形式为：

其中：

是环路增益，Aideal是极限条件（TTP→ ∞）中sO/sI的值，通过使αTP→ ∞得到。另外，反馈系数是：

图2：使用运放来说明四种基本反馈拓扑。

TPA寻求一种会考虑放大器和反馈网络之间任何交互（如加载）的αTP表达式。负反馈将每个端口的开环电阻rpa转换为闭环电阻，使这项任务变得容易：

串联情况下为+1，并联情况下为-1。如果TTP 足够大，在串联情况下可将R视为开路，在并联情况下可将其视为短路。

作为第一个例子，我们将TPA应用到图3a的电流放大器，该电路有：

为得到αTP，我们修改了误差放大器，如图3b所示。图3a中输入源看到的电阻是Ri= R2/(1 + αv)，负载看到的电阻是Ro = R1(1 + αv)。对于大的αv，我们期望Ri很小、Ro很大。因此，如果我们将Ro近似为开路（OC），那么从放大器的输入端口看到的反馈网络就是R2 + R1的简单串联组合。同样，如果我们

图3：（a）端接于短路负载的并联-串联配置；（b）使用TPA查找开环参数

αTP、ria,和roa的电路。

将Ri近似为短路（SC），则从放大器输出端口看到的反馈网络就是R2//R1的简单并联组合。因此我们有：

表明开环增益为：

注意，αTP ≠ αv。简化后的循环增益：

重新考虑αv = 10 V/V和R1 = R2 = 10kΩ的例子。带入上面的等式，给出：

尽管有OC和SC近似值，但通过与直接分析得出的 Aexact = 1.909 A/A相比，这相当有利。为确保这种近似性不是偶然的，我们来检查Ri和Ro的值。通过检查图3b，我们有ria=R2+R1和roa=R2//R1。应用等式（4），我们得到：

从而证实Ri比电路中的其它电阻小得多，Ro大得多。

回归比分析（RRA）

这种方法，如图1b的块图所示，可计算闭环增益：

其中，TRR是环路增益，Aideal 和αft分别是TRR → ∞和TRR→ 0极限条件下sO/sI的值。这些极限是通过使图1b中的αRR → ∞ 和αRR → 0来实现。根据以下流程，得到TRR为误差放大器的从属源αRRsE的回归比：

（a）设置sI → 0； （b）在从属源αRRsE的紧下游立即切断反馈环； （c）与αRRsE源相同类型和极性的测试信号sT通过电路下游； （d）找到由从属源本身返回的信号sR； （e）获得回路增益作为回归比。

随着分析的进行，我们发现将TRR表达为积很方便，类似于公式（2）：

得到反馈系数βRR：

或更简单地，βRR=TRR/αRR。

将这个过程应用于图3a的电流放大器，产生了图4a的电路，通过检查，我们有vR = αvvD = αv(–vT)，所以：

因此，αRR = αv和βRR = TRR/αRR = 1。使αv → 0，以便得到馈通增益，如图4b所示。通过检查，iO = iI，所以，αft= iO/iI = 1 A/A。再考虑αv = 10V/V和R1= R2 = 10kΩ的例子，我们现在有：

对比公式（14）与公式（8），观察各个T、α和β值的不同。另外，ARR是准确的，而ATP只是近似。为了符合图1a中采用单向块这一假定，TPA通过使TTP = 20（与TRR = 10相比）尽可能地接近Aexact。对于αv的当前值来说，使TTP = 21（而非20）将导致ATP = Aexact，这可以很容易验证。但是，对于馈通变得更相关的较低值（例如αv=1V/V）来说，它不起作用。 αv = 0时，差异最大，其中，ARR=Aexact=1 V/V，但ATP = 0。

图4：用于得到图3a中电流放大器的（a）环路增益TRR和（b）馈通增益αft的电路。

图5：（a）并联-并联配置；（b）得到误差增益αTP的电路。

更复杂的例子

我们将这两种方法应用于图5a的I-V转换器，但是使用具有非无限输入阻抗ri和非零输出阻抗ro的更真实的运放模型。正如我们知道的，该电路有：

由于这是一个并联-并联拓扑结构，所以反馈电阻同时为输入和输出两个端口的接地电阻，如图5b所示。我们有：

表明开环增益：

再次注意αTP ≠αv。而且，环路增益为：

对于RRA，请参考图6的电路，它分别给出：

所以环路和馈通增益简化为：

注意，αft和Aideal极性相反。我们针对一种容易想象的特定情况，即αv = 60 V/V和ri= ro = R = 10kΩ，来比较这两种方法。是的，用一款不太合格的运放，可以更好地显示其差异。把这些数据带入相关公式，得到：

图6：用于得到图5a中I-V转换器的（a）环路增益TRR和（b）馈通增益αft的电路。

注意αTP和αRR以及βTP和βRR的幅值、极性和量纲的差别。ATP 和ARR (=Aexact)也有细微差别。

如果运放ro = 0，根据公式（18）将不存在馈通。在这种情况下，我们将得到：TTP = TRR = 30，ATP = ARR = –9.677V/mA。如果运放也有ri = ∞，则TTP = TRR = 60，ATP = ARR = –9.836 V/mA。然而，仍然会有很大的差异，即αTP = –600 V/mA和βTP = −0.1 mA/V，以及αRR = 60 V/V 和βRR = 1。尽管存在差异，这两个参数集仍将设法提供相同的A值！

另外两个例子

最后我们来看一看图7a和b的单晶体管电路。图7c中其共同小信号模型表明，误差增益基于gm（在运放的盒子中，它是基于αv的）。而且，两个电路都是串联-输入型的。然而，根据我们将输出作为发射极电压vo还是作为集电极电流io，分别有并联-输出或串联-输出类型。两个电路都很简单，可以直接分析它们。但是，通过TPA和RRA进行研究将更具启发性。

图7：假定gm = 40mA/V，rπ = 2.5kΩ，ro = 40kΩ和R = 1.0kΩ。（a）串联-并联电路；（b）串联-串联电路；（c）其共同的小信号模型。

● 图7a串联-并联电路的TPA：为得到Aideal，让gm → ∞，如图8a所示。这使得vε→ 0或vo → vi，意味着Aideal = 1.0V/V (= 1/βTP)。参照图8b，通过检查，我们有vo=gm(R//ro)vε或αTP=vo/vε=gm(R//ro)。带入数据，可以得到：

图8：用于得到图7a中串联-并联电路的（a）Aideal和（b）αTP的电路。

●图7a串联-并联电路的RRA：为得到TRR，参见图9a，其中ir = gmvπ = gm[(-it)(rπ//R//ro)]；为得到αft，参见图9b，其中vo = vi(R//ro)/[rπ + (R//ro)]。所以：

带入数据，得到：

图9：用于得到图7a中串联-并联电路的（a）TRR和（b）αft的电路。

● 图7b串联-串联电路的TPA：为得找Aideal，让gm → ∞，如图10a所示。这使得vε→ 0，从而在rπ上产生虚拟短路，所以iR = vi/R。超级节点处的KCL给出io = iR = vi/R，所以Aideal=io/vi=1/R(=1/βTP)。要得到αTP，按图10b继续。结果如下：

带入数据，得出：

图10：用于得到图7b中串联-串联电路的（a）TRR和（b）αft的电路。

● 图7b串联-串联电路的RRA：为得出TRR，参见图11a。 这与图9a相同，所以我们有相同的TRR。要得到αft，按图11b继续。结果如下：

带入数据，得出：

串联-串联电路的馈通比串联-并联电路的小，所以ATP →ARR。

图11：用于得到图7b中串联-串联电路的（a）TRR和（b）αft的电路。

比较TPA和RRA

前面利用以运放和晶体管作为增益元件（运放的增益为αv，晶体管的为gm）的简单电路，讨论了所有四种反馈拓扑结构。比较过程和结果，我们发现：

● RRA比TPA更通用，因为它考虑了误差放大器周围的馈通。因此，RRA的结果是准确的，而TPA的结果只是近似。

● 对于高环路增益，TPA和RRA之间的差别最小，当环路增益下降到零时，差别最大，其中ARR→αft但ATP→0。

● TPA将环路增益计算为乘积TTP = αTPβTP；RRA将其计算为比值TRR = –vR/vT。

● TPA对四种反馈拓扑中的每一种都使用了不同的双端口表述，所以一般情况下，不同拓扑结构的αTP、βTP和TTP会不同。

● 相比之下，给定电路的环路增益TRR与拓扑结构无关，而是取决于输入和输出信号的类型和位置（但αft通常与拓扑结构相关）。

● 对于误差放大器和反馈网络之间的任何交互（如加载），两种分析的处理方式都不同。TPA假定βTP = 1/Aideal，然后通过使用OC和SC近似来操控放大器电路以得到αTP，所以通常αTP≠αv(或αTP≠gm)。

● 除打破信号注入环路之外，RRA不会影响电路的操作。 RRA假定了αRR = αv (或αRR = gm)，它将误差放大器和反馈网络间相互作用的影响转移到反馈网络本身，所以通常βRR≠1/Aideal。

● TTP和TRR有时可能相同，但不应该把这当作常态。尤其不应该使用TRR来计算ATP，或使用TTP计算ARR。例如，在尝试使用公式（3）时发生的错误。

● RRA感觉更直观，也更适合实验室的计算机模拟或测试。另一方面，TPA迫使你以更能揭示放大器和反馈网络之间相互作用的方式来剖析电路。