AI辅助仿真技术方兴未艾

写在前面的话

文明的进步总是朝着公平、公正、公开的方向。技术的进步总是朝着舒适、便利、快捷的方向。钢笔让毛笔走入了历史；网络通讯让惜字如金的电报，洋洋洒洒的书信都走入了历史。

当一种技术发展到极端的时候，往往另外一种颠覆性的技术就在酝酿中。内燃机驱动的汽车过去一百年来变得更漂亮、更舒适，当然也发展到了极限。比如零到一百公里加速特性在5秒之内；混合工况百公里油耗在5升以内（每公里成本约为0.4元），这两大分别评价动力性和经济性的指标对于家用纯汽油内燃机常规车辆来说是不可逾越的边界。即便是达到其中一个指标都需要极高的成本（跑车，超轻汽车）。

作为技术替代品，电动汽车轻而易举的同时达到了上述目标。电动汽车叠加燃油车永远不再可能企及的智能驾驶技术引领了汽车进入了新的时代。

工业仿真伴随着计算技术和计算机硬件的进步，过去六十年取得了突飞猛进的发展。但是工业仿真也存在类似汽车的计算技术极限：尺度跨度不超过6个数量级和计算在秒级完成。这两个技术极限在目前以微分方程空间时间离散为核心的当前主流求解器框架下是无法同时解决的。

以经典机器学习和深度学习为代表的AI辅助仿真技术打开了突破极限的通路：卷积技术使得人们可以在米级计算尺度上分辨微米级的几何特征；图网络和物理知情网络使得仿真计算可以在秒级完成。

AI辅助仿真技术方兴未艾！

AI辅助有限元仿真

人工智能 （AI） 是近年来受到高度关注的领域之一。人工智能是指模仿人类智能的基于知识的系统，是使用复杂的算法和数学函数构建的，这些算法和数学函数具有人类和理性思考和行动的能力 。由于计算能力和新算法的进步，AI 在过去三十年中经历了指数级增长。机器学习 （ML） 和深度学习 （DL） 是 AI 的两个子领域。ML 和 DL越来越多地在各个领域解决一些现实世界的问题，包括科学、工程、医疗保健、金融和经济、农业以及计算机视觉和自然语言处理。

数据被认为是任何 ML 算法的核心。在输入到任何 ML 模型之前，会对获取的数据进行预处理。数据质量评估、检查任何缺失值、清理（删除任何异常值）、缩放和转换都包含在数据预处理中。数据中的相关特征被馈送到 ML 算法。ML 模型经过训练以了解训练数据的特征，并使用测试数据评估性能。

在过去的 80 年里，有限元法 （FEM） 已经发展成为计算力学领域著名的偏微分方程求解器 。有限元分析 （FEA） 因其能够解决各种问题领域而被广泛使用，包括结构力学、流体流动分析、热传导、增材制造、电气和电子领域、生物工程等。有限元分析的过程是基于将几何域离散化为更小的子域，称为单元。在每个元素上，主变量使用插值函数（也称为形状函数或基函数）进行近似。每个单元的控制方程是使用直接或变分或加权残差方法得出的。代数元素方程在解空间中组装在一起，并针对一级和二级变量求解生成的方程组。

科学和工程问题通常分为三类：（a） 缺乏科学知识的纯数据驱动问题;（b） 科学知识有限的问题，需要一定数量的数据来解释物理定律以提供完整的解决方案;（c） 具有已知控制方程但计算成本太高而无法获得完整解的问题 [24]。FEA 的求解过程在数学上是密集的，因为它涉及明确的数学规则来描述问题的物理特性。随着问题的复杂性，这个过程变得更具挑战性。另一方面，ML 利用寻找新规则来描述任何没有任何明确规则的现象。根据提供给 ML 算法的数据，它以隐式方式映射输入和输出。因此，由于数据驱动方法的发展，有限元 （FE） 社区也在研究 ML 和 DL 的应用，以发现和实现计算力学的新范式。

此外，FEM 和 ML 有自己的特点，突出了它们的优点和缺点。例如，FEM 的数学精度使其无法处理数据中的任何不稳定性和噪声。FEM 是基于数学的，更适合直接或正向分析。然而，由于缺乏独特的解，FEA 不太适合于逆向分析。FEA 的输出可能不包含足够的信息，无法唯一地确定系统的输入。

另一方面，机器学习算法，如人工神经网络 （ANN），能够在算法通过训练学习时处理不确定性和噪声。ANN 的详细信息将在后面的部分中讨论。然而，ANN 是受生物学启发的，它可以有效地处理非唯一的逆问题。除此之外，人工神经网络还通过映射训练数据的输入输出来学习。训练数据仅包含我们感兴趣的一系列变量。但是，ANN 可以在提供的训练数据范围之外学习该函数。准确性可能会有所不同，或者结果的意义可能会降低，具体取决于与训练数据集的偏差。这使得 ANN 比 FEM 更健壮。在对 FE 模型进行建模时，需要将误差收敛为零。但是，在任何 ML 模型的建模中，在模型训练期间将误差减少到零是不可取的。如果误差为零，则 ML 模型将失去其泛化能力，这在 ML 文献中称为过拟合问题。

由于其数据驱动的方法，ML 的效用超越了各个领域。在计算力学领域，许多研究人员通过采用 ML 技术显着推动了该领域的发展，尤其是在计算资源受到限制的时期，早于 DL 的当前时代。已经出现了几项开创性的工作，体现了 ML 在计算力学中的早期应用。例如，研究人员在本构建模、梁结构的材料参数识别、缺陷识别和裂纹分析方面做出了显著的贡献。

近几十年来，ML 在 FEA 中的应用已被广泛报道。由于其通用的近似特性，与其他ML算法相比，ANN在各种应用中都表现出了更好的性能。1990 年代初，FEM 中的 ANN 首次付诸实践。使用神经网络对泊松方程的能量泛函进行最小化，以解决有限元法中的电场问题和不可压缩粘性流问题。在有限元元中实现神经网络的早期研究包括稳态纳维-斯托克问题的最佳收敛准则的估计、桁架的结构分析、波传播模拟、冷平板轧中的速度场和中性点预测、残余应力预测和弹塑性中变分原理的最小化。

ML的算法

ML 的主要任务可以分为回归、分类和聚类。基于回归的 ML 模型适合给定数据集的线性或非线性曲线。基于分类的 ML 模型以监督方式将数据集分类为预定义数量的类。聚类算法以无监督方式对给定的示例集进行分组根据我们的综述，一些 ML 算法在 FEA 领域得到了广泛的应用，例如支持向量机 （SVM）、决策树、随机森林、k 最近邻 （KNN）、k-means 聚类、逻辑回归、ANN、CNN 和递归神经网络 （RNN）。

人工神经网络 （ANN） 是最常用的 ML 算法之一。ANN 的灵感来自生物神经网络。神经元是 ANN 的基础信息处理单元。输入信号由它们各自的神经元突触加权，被汇总形成一个线性组合。提供了一个激活函数来限制神经元的输出，它是输入的加权和的函数。

卷积神经网络（CNN）是一种DL模型，用于处理网格模式的数据，如时间序列数据和图像。CNN 架构的主要构建块是卷积层、池化层和全连接层。卷积和池化层从输入图像中提取特征。卷积的数学运算是使用多个核滤波器在卷积层中执行的。一个卷积层（称为特征图）的输出被传递到下一个层，以提取输入图像的其他相关特征。下一层，池化层通过减少特征图的空间维度，对卷积层的输出进行下采样。根据所使用的方法，有几种类型的池化操作，如树池化、门控池化、平均池化、最小池化、最大池化、全局平均池化（GAP）和全局最大池化。池化层的扁平化输出通过全连接层传递，该层由可学习参数（即权重和偏差）以及神经元组成，以执行回归或分类任务。

DL 是指神经网络的深度，即 DL 具有更多数量的隐藏层，使 DL 能够捕获数据的复杂行为。ML 模型通常需要特征工程。另一方面，ANN 使 DL 能够以原始形式处理数据，并自行学习特征。包含噪声、异常值和异常的大型数据集使特征提取更具挑战性。虽然 DL 确实是 ML 的一个子集，但根本区别在于它们的学习机制和数据要求。DL 表现出更复杂的学习过程，与更广泛的 ML 算法类别相比，往往需要更多的数据。ML 模型在处理大型和更高维数据集时面临困难。这通常会导致降维。ML 通过分解为更小的任务，然后组合结果来解决问题。另一方面，DL 以端到端的方式解决问题。

ML与预处理

预处理是有限元分析三个步骤中的第一步，涉及定义几何结构、材料属性、网格、载荷和边界条件、单元类型和积分参数。几何结构的准备是 FEM 预处理的关键步骤。

众所周知，有限元解的质量取决于有限元网格的质量。具有足够细网格的 FEM 模型可以获得准确的结果，尽管与粗网格相比，计算时间更长。粗网格可能会在较短的时间内给出结果，但精度可能不是最佳的。结构良好的网格可以在更短的计算时间内实现更高的精度。因此，了解是否需要重新划分网格变得至关重要。为了确保结果的质量可接受，FE 网格需要通过各种质量检查。这包括检查一些指标，如纵横比、偏度、包裹因子、允许的角角、正交度和雅可比矩阵。对于复杂的域和仿真，需要投入大量手动工作来提高网格生成的质量。这些网格需要手动审查，如果需要，通常会执行重新网格划分。Sprave 和 Drescher开发了两种基于分类的 ML 模型：基于树的模型和 ANN 模型，用于对网格的质量进行分类。这两个 ML 模型都采用 7 个特征来表示网格的图形。这些模型在实际乘用车的部件上进行了测试。在网格细化过程中，最初在相对粗糙的均匀网格上计算解。然后，估计后验误差。根据容错值，在本地细化网格，直到获得满意的结果。

ML与单元特征

单元特征是指 FE 的属性，它决定了单元模拟特定行为的能力。例如，一维桁架单元只能模拟轴向变形，而无法模拟剪切或弯曲变形。同样，二维 （2D） 线性单元也无法模拟弯曲变形问题。这些功能由单元公式决定。单元计算中的两个关键组成部分是形状函数和数值积分点。接下来讨论 ML 在形状函数和数值积分点评估中的应用。

在有限元仿真中，一阶拉格朗日最常用于近似几何和主场变量。使用一阶拉格朗日多项式的缺点是它在单元边界上是C0连续的。此外，在分析之前必须选择多项式的次数。通用近似特性使 ANN 成为用于计算形状函数的良好候选者。对于给定的输入节点坐标集，ANN 模型可以学习插值函数。

材质建模

本构模型描述了材料对外部载荷的响应。因此，数值结果的准确性在很大程度上取决于描述材料行为的适当材料模型的可用性。在传统方法中，材料建模是指基于数学模型和经验关系以及某些简化假设的本构定律的发展。由于涉及复杂的物理场，使用传统方法进行材料建模是具有挑战性的领域之一，这使得该过程非常复杂且成本高昂。

Kirchdoerfer 和 Ortiz提出了一种新的计算方法，称为数据驱动计算，其中实验结果直接用于计算，而不考虑任何材料模型。该方法在满足约束方程和守恒定律的同时，计算非线性 3D 桁架问题和非线性弹性实体的应力-应变关系。这项工作进一步扩展为开发一种更高效的数据驱动模型，称为 max-ent 数据驱动计算，可以处理噪声较大的材料数据。通过数据驱动方法进行的材料建模旨在通过最小化最小二乘意义上的距离函数，从预先指定的材料数据集中找到最接近的材料可能状态。因此，这种方法的准确性在很大程度上取决于可用数据的质量和完整性。为了获得必要的质量和数量数据，需要进行足够数量的实验。

通常，应力-应变数据用于使用 DL 对本构关系进行建模。这与发展本构关系有直接联系。对于复杂模型来说，通过数值仿真或实验获得这些数据（应力-应变对）变得具有挑战性。使用 DL 开发本构建模的另一种方法是使用间接数据（例如力和位移场），这些数据在测量值和基本本构关系之间没有直接联系，也更容易测量。中使用的 FE 代码依赖于 TensorFlow 或 PyTorch 等自动微分包。此代码生成的结果在用于传统 FE 程序的装配和求解器阶段之前，需要进行额外的后处理。因此，这个补充处理步骤会为整个解决方案过程增加额外的时间。为了克服这一挑战，DNN 与 Abaqus 集成，允许 DNN 和 Abaqus 之间进行数据通信。此外，将应力-应变数据视为历史变量，在非弹性变形的弹性阶段会出现额外的误差。除了使用应力-应变作为历史变量，累积的绝对总应变也可用于超弹性和塑性模型。

求解器

此步骤也称为 FEA 的处理或求解器步骤。它涉及单元刚度矩阵、力矢量等元素量的计算，然后将这些量组装成全局方程组。主要变量是通过在施加近似边界条件后求解全局方程组来计算的。下面讨论了 ML 在 FEA 求解器步骤中的应用。

为了计算单元刚度矩阵，Jung 等提出了一种深度学习模型，称为深度学习有限元。该模型采用节点坐标以及八节点和四节点四边形平面应力单元的泊松比作为输入。该模型给出应变-位移矩阵作为输出，用于计算单元刚度矩阵。

接触

即使对于最简单的问题，接触影响分析也需要大量的计算工作。接触影响分析的重要步骤之一是确定可能发生接触的区域。它由两个阶段组成：一个全局搜索阶段，用于查找可能的节点-段对，另一个本地搜索阶段，用于查找段内接触点的确切局部坐标。在找到正确的接触位置后，通常通过求解最小距离搜索算法，使用各种技术（如罚、拉格朗日乘子、增广拉格朗日乘子等）来应用接触约束。

在分析开始之前，接触区域是未知的。联系人搜索阶段需要花费大量精力才能正确识别联系人位置。为了克服这个问题，Oishi 和 Yoshimura 提出了一种使用 ANN 的无迭代本地联系人搜索方法。神经网络预测接触点的局部坐标值，同时将节点坐标作为输入值。他们后来提出了一种快速稳定的无迭代曲面对曲面接触搜索方法，该方法由 NURBS 使用 ML 定义。他们同时使用 ANN 和 SVM 来确定一对表面段是否接触。

求解器

人工神经网络的通用近似特性使它们能够以所需的精度水平逼近任何函数，前提是网络中有足够数量的神经元。这一独特的特性将 DL 推向了科学 ML 的新前沿。DL 已在多个领域得到应用，包括求解 PDE 和常微分方程 （ODE）。研究人员利用 DL 的强大功能，同时使用 DNN 和 CNN、PINN，来解决各种领域的 PDE 和 ODE。

由于无法获得足够的数据，绝大多数最先进的 ML 技术都缺乏稳健性，并且在分析复杂的物理、生物和工程系统时无法提供任何收敛保证。因此，在部分信息下得出结论。在一项开创性的贡献中，Raissi 和合作者引入了物理信息神经网络 （PINN） 的概念，在函数近似领域开创了一种新的范式。PINN 的本质在于其独特的能力，不仅可以用作通用函数逼近器，还可以封装控制给定数据集的本征物理学。这种范式超越了传统的函数拟合范围，结合了一般偏微分方程中编码的基本物理原理的知识。此外，PINN 还具有处理正向和逆向问题的优势。PINN 的基本方法是使用 DL 来最小化配置点的损失。这些配置点被认为是边界点、初始点以及域中一些点的组合。损失函数由控制偏微分方程的残差组成，包括作为惩罚参数的边界项。

PINN 采用偏微分方程的强形式，并最大限度地减少 DNN 的残差形式。虽然 FEM 和 PINN 的目标相同，但获得解决方案的方法不同。在 PINN 中，边界条件被合并到整个域的损失函数本身中，而 FEM 以单元形式施加边界条件。研究人员提出了许多基于有限元法和PINN的研究方法，用于不同材料的力学分析：弹性、粘弹性、超弹性、塑性、超弹性。

模拟过程

耐撞性是指结构或系统在碰撞期间通过有效吸收和消散冲击能量来保护乘员或有效载荷的能力。它涉及设计和工程措施，以尽量减少伤害和损害，最终提高乘员的安全性。由于其高度非线性的行为，处理碰撞现象是最具挑战性的任务之一。在所需误差范围内捕获崩溃事件需要非常多的仿真。考虑到车辆的成本、安全性和性能，车辆碰撞仿真对于确定最佳设计参数具有重要意义。ABAQUS、LS-DYNA、PAMCRASH、ANSYS等商业软件包用于车辆碰撞仿真。这些模拟需要大量的计算资源和时间，因为有限元网格可能包含多达1000万个单元。由于其巨大的计算成本以及机器学习与计算机进步的同步增长，耐撞性领域吸引了研究人员应用各种 ML 技术，以减少计算时间并简化和加速耐撞性的设计过程。

为了以更少的计算时间分析碰撞仿真的结构响应，基于 FE 仿真数据构建了 ML 模型。Omar等使用RNN来确定车辆在撞击过程中的碰撞特性。该模型采用 5 个输入，其中包含当前状态的位移、速度和加速度，以及前两步的延迟加速度。RNN 模型预测新状态的加速度，这决定了动态冲击力。使用 ML 进行车辆碰撞分析涉及利用从 FE 仿真中获得的高维数据。

损伤

损伤是由于外部载荷在材料内部形成微孔和微裂纹的过程，导致其性能恶化。损伤特征的分析可以通过基于模型或数据驱动的方法来进行。在基于模型的方法中，使用损伤变量评估材料的损伤状态，这些变量可以是标量或张量。然后使用各种损伤增长定律研究损伤随时间的演变，例如 Lemaitre、Tai 和 Yang、Chandrakanth 和 Pandey 或 Bonora 模型。制定本构方程来描述受损材料的机械行为，并使用 FEA 来解决由此产生的初始值问题。另一方面，数据驱动的方法，如SHM，使用传感器来检测和分析工程结构中的损伤。然而，基于 FEA 的损伤建模面临着与复杂几何形状、内部结构、几何非线性以及需要进行机械测试以确定材料特性相关的挑战。SHM 还遇到了有关可靠性、专业知识要求、技术选择、时间和成本的问题。为了应对这些挑战，研究人员探索了使用各种 ML 算法来研究损伤和断裂，提供了优于传统 FEA 和 SHM 方法的潜在解决方案和改进。

SHM 涉及检测损坏、定位损坏、量化其严重程度以及预测结构的剩余寿命。无损评估 （NDE） 等传统方法成本高昂、耗时且需要专业知识。在 FEM 中，损伤分析涉及迭代求解前向问题。逆向分析根据动态响应预测损坏，但设置参数和专业知识带来了挑战。ML 通过利用数据来学习模式来克服这些挑战，为 SHM 任务提供灵活且适应性强的框架。

断裂

断裂是一种特殊类型的损伤，当材料在过大的应力或负载下失效时，导致材料分离或断裂成两块或多块。断裂可以突然发生，并且是灾难性的（脆性断裂），也可能逐渐发生，并伴有明显的裂纹扩展（韧性断裂）。断裂通常以材料内部存在裂纹或裂缝为特征，是结构工程和材料科学中的关键问题。科学家们对预测聚合物复合材料断裂韧性的不同 ML 算法进行了全面研究。

疲劳

疲劳是指材料在长时间内受到循环载荷或应力时发生的渐进性和局部损伤。当材料经历重复的加载和卸载循环时，例如在机械部件或结构中，这一点尤其重要。Silva等使用粘接接头的极端随机树（ERT）模型预测疲劳寿命。基于树的模型是在相对较小的数据集上开发的，只有 365 个数据点。该模型将应力比、应力幅值、应力集中因子和三轴度（静水应力与等效应力的比值）作为输入。将基于树的模型的性能与线性回归模型的性能进行了比较。结果发现，基于树的模型在预测疲劳寿命方面表现更好。Thakre 和 Kanjarla还使用随机森林回归来预测双相钢中的损伤起始应力。

为了研究疲劳行为，需要大量的载荷循环才能在两个受振动的接触表面之间产生裂纹。如果特定裂纹扩展行为所需的加载周期是先验已知的，则可以显著缩短此测试时间。为了减少测试时间，Gorji等使用ANN研究了C-Mn钢在循环载荷下的裂纹扩展。ANN 模型以接触宽度、峰值表面压力和最大表面剪切为输入，并预测裂纹深度的长度和阈值应力强度因子。

屈曲

屈曲是一种结构不稳定现象，当细长杆件受到压缩载荷时突然发生横向偏转或弯曲，脱离其笔直和稳定的配置。这是一种关键的失效模式，可能导致结构和机械系统倒塌。

胡使用 ANN 预测碳纤维增强聚合物 （CFRP） 增强钢柱的屈曲能力。这项工作还包括对 DNN 模型输出相对于其 9 个输入的敏感性分析。发现屈曲响应对所有 9 个输入中柱子的长度和偏心率更敏感。然而，在实际应用中，在特定范围之外出现任何长度和偏心率异常值的可能性非常小。网络输出相对于其他变量的敏感性较低，这意味着 ANN 模型的稳健性。这意味着，对于用于构建模型的数据范围之外的参数，DNN 模型的预测准确性不会有太大偏差。

后处理

获得有限元结果后，通过对主要变量（即位移、速度、温度）进行导数来计算次要变量（即应变、应力、热通量）。因此，与主变量相比，这些派生量的准确率较低。可以通过网格细化来提高精度。但是，这需要更高的计算成本。SPR是试图提高这些推导量（应力）的准确性的技术之一。SPR 技术使用在高斯点处计算的应力值的多项式近似 。这种技术的缺点是它假定多项式的次数来描述应力场。这个假定的多项式场可能无法完全捕获应力场。Khoei等使用ANN作为函数近似来计算应力场。使用 ANN 作为函数近似可以更准确地预测应力分布，尤其是在高应力梯度区域。在他们的方法中，为每个应力分量训练了三种不同的 ANN 模型。

总结

在 FEA 环境中应用 ML 技术在 FEA 工作流程的各个阶段（预处理、处理和后处理）都显示出可喜的结果。将 ML 集成到 FEA 的各个阶段具有巨大的优势。它提高了计算效率，从而加快了分析和设计迭代的速度。基于 ML 的代理模型提供计算成本更低的近似解，从而能够探索更大的设计空间。此外，ML 有助于逆向参数识别，有助于模型校准和优化。这些进步共同提高了 FEA 仿真的可靠性、速度和有效性，使工程师和研究人员能够做出明智的决策，并在广泛的行业和领域中实现更好的工程设计和分析结果。