汉明码计算及其纠错原理详解

当计算机存储或移动数据时，可能会产生数据位错误，这时可以利用汉明码来检测并纠错，简单的说，汉明码是一个错误校验码码集，由Bell 实验室的R.W.Hamming 发明，因此定名为汉明码。

汉明码（Hamming Code），是在电信领域的一种线性调试码，以发明者理查德·卫斯里·汉明的名字命名。汉明码在传输的消息流中插入验证码，以侦测并更正单一比特错误。由于汉明编码简单，它们被广泛应用于内存（RAM ）。其SECDED （single error correction， double error detection）版本另外加入一检测比特，可以侦测两个或以下同时发生的比特错误，并能够更正单一比特的错误。因此，当发送端与接收端的比特样式的汉明距离（Hamming distance）小于或等于1时（仅有1 bit发生错误），可实现可靠的通信。相对的，简单的奇偶检验码除了不能纠正错误之外，也只能侦测出奇数个的错误。

在数学方面，汉明码是一种二元线性码。对于每一个整数，存在一个编码，带有个奇偶校验位个数据位。该奇偶检验矩阵的汉明码是通过列出所有米栏的长度是两两独立。

汉明码的定义和汉明码不等式：

设：m=数据位数，k=校验位数为，n=总编码位数＝m+k，有Hamming不等式：

汉明码不等式含义：

a） 总数据长度为N，如果每一位数据是否错误都要记录，就需要N位来存储。

b） 每个校验位都可以表示：对或错；校验位共K位，共可表示2k种状态

c） 总编码长度为N，所以包含某一位错和全对共N+1种状态。

d） 所以2k≧N+1 e） 数据表见下

Hamming码缺点：

无法实现2位或2位以上的纠错，Hamming码只能实现一位纠错。

以典型的4位数据编码为例，演示汉明码的工作过程

a） 数据存储格式：

依照此前的汉明码不等式计算出，当数据位为4位时，汉明码校验位至少为3位，如上方式排列

可以看的出D8、D4、D2、D1中的数字都是2的整数幂

b） 汉明校验码的插入规律：

设：编码位代号k，校验码位代号p，数据位代号n

某个校验码Pp将处于整个编码的第k位

k=2^（p-1）=2的（p-1）次方

以数据位为5的一组9位数编码为例，如下：

c） 校验位与数据位的对应关系：

注：^是逻辑运算符异或。

P1=D8^D4^D1

P2=D8^D2^D1

P3=D4^D2^D1

小解释：数据位共4位每行等式都缺少一位，而缺少的这位数据位正好是DX，等式左边的校验位为PY，X=2y.

d） 校验位如何参与计算：

P1’=P1^D8^D4^D1

P2’=P2^D8^D2^D1

P3’=P3^D4^D2^D1

从高到低排列的二进制数：P3’ P2’ P1’表示的就是出错的编码位，从000-011-101-110-111共5种组合，可表示原数据位D8D4D2D1某一位错&没错的一共5种状态。

e） 设有一数字为：1101，带入运算：

D8=1、D4=1、D2=0、D1=1，

P1 =1，P2=0、P3=0。

汉明码处理的结果就是1010101

假设：D8出错，P3’ P2’ P1’=011=十进制的3，即表示编码后第三位出错，对照存储格式表，果然就是D8错误。

假设：D4错误，P3’ P2’ P1’=101=十进制的5，即表示编码后第五位出错，对照存储格式表，果然就是D4错误。