如何判断系统是否线性_判断线性系统简单方法

线性系统是什么

线性系统是指同时满足叠加性与均匀性（又称为其次性）的系统。所谓叠加性是指当几个输入信号共同作用于系统时，总的输出等于每个输入单独作用时产生的输出之和；均匀性是指当输入信号增大若干倍时，输出也相应增大同样的倍数。对于线性连续控制系统，可以用线性的微分方程来表示。不满足叠加性和均匀性的系统即为非线性系统 。

由于线性系统较容易处理，许多时候会将系统理想化或简化为线性系统。线性系统常应用在自动控制理论、信号处理及电信上。像无线通讯讯号在介质中的传播就可以用线性系统来模拟。

线性系统的函数表达为

如图：

线性系统和非线性系统的区别

如果从系统状态空间表达式来观察，线性系统和非线性系统最明显的区别方法就是线性系统遵从叠加原理，而非线性系统不然。

所谓叠加原理举个例子就是：

f（x）=2x，f（y）=2y，f（x+y）=2（x+y）=2x+2y=f（x）+f（y）

举个反例：

f（x）=2x^2，f（y）=2y^2，f（x）+f（y）=2（x^2+y^2），但f（x+y）=2（x+y）^2，两个显然不等。

换句话说，线性系统的表达式中只有状态变量的一次项，高次、三角函数以及常数项都没有，只要有任意一个非线性环节就是非线性系统。

判断线性系统的例题

判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统？

分析：

1）均匀性

设信号e（t）作用系统，响应为r（t）。当激励Ae（t）作用于系统时，根据描述系统的微分方程，将方程两边乘以A，得到

这是先经系统，再线性运算的结果。

下面讨论先线性运算，再经系统的结果。显然线性运算后的激励为Ae（t）。而若系统具有均匀性的话，根据描述系统的微分方程，所得结果应该是

显然式（1）不等于式（2），即系统不满足均匀性。

2）叠加性

假设两个激励分别为e1（t）和e2（t），其相应的响应分别为r1（t）和r2（t）。根据描述系统的微分方程，有下列关系成立。

这是先经系统，再线性运算的结果。

下面讨论先线性运算，再经系统的结果。显然线性运算后的激励为e1（t）+e2（t）。而若系统满足叠加性的话，根据描述系统的微分方程，所得结果应该是

显然式（5）不等于式（6），即系统不满足叠加性。

由1）和2）中的结论得知，该系统既不满足均匀性，也不满足叠加性，显然是非线性系统。

延伸阅读：

怎样区分线性和非线性_线性与非线性的区别（线性分析、线性模型）