归纳总结时域分析的主要内容

“信号与系统”课程内容可以概括为：两个对象，三种分析方法，三大变换。其中，两个对象是指信号（包括连续时间信号和离散时间信号）和系统（包括连续时间系统和离散时间系统）；三种分析方法是指时域分析方法、频域分析方法和复频域分析方法（后两种称为变换域）；三大变换指即傅里叶变换，拉普拉斯变换和Z变换。

我们用这些方法，去研究，如何描述一个信号、如何分析信号的特性、如何对信号进行运算；如何描述一个系统、如何求解系统的输出（响应）、如何分析系统的特性。这些内容的学习，是我们以后研究信号处理、系统设计的基础。

时域分析包括三个内容：一、信号与系统的一些基本概念；二、信号的时域分析方法；三、系统的时域分析方法。

一、信号与系统的一些基本概念

包括两个内容：信号及其描述与分类、系统及其描述与分类。如下图1所示。

图1

其中，“信号的分类”和“系统的分类”是两个重点。

在我们的课程中，用“函数”来表示信号。可以从不同角度来对信号进行分类。

信号的分类包括：

图2

重点说其中两个：

连续时间信号、离散时间信号与模拟信号、数字信号

前者着眼点在于自变量是否连续，而后者着眼点在于函数值是否连续。通常，我们把自变量和函数取值都连续的信号称为模拟信号，而把自变量和函数取值都离散的信号称为数字信号。

功率信号、能量信号

这是一个难点内容。

若信号的能量E满足：0

若信号的平均功率P满足：0

注意：二者是互不相容的，也就是说，能量信号的平均功率一定是零；而功率信号的总能量一定是无穷大。

大部分周期信号是功率信号，而持续时间有限的非周期信号一般是能量信号。注意这并不是绝对的。

系统的分类包括：

图3

重点和难点有两个：

线性系统、非线性系统的判定

时变系统、时不变系统的判定

这两个内容，上一篇文章中做了详细分析。参见系统线性、时不变性的判定——“信号与系统”重点难点解析之一

二、信号的时域分析方法

信号的时域分析，包括三个内容，如下图：

图4

（一）常用信号及其基本特性

重点和难点：单位冲激信号

（二）信号的时域运算

重点和难点：信号的翻转、展缩、平移

（三）卷积积分/卷积和

重点和难点：卷积的定义、性质、计算

复习建议：

（1）深刻理解函数与信号的关系

这部分内容，涉及到数学中函数，要理解信号的物理意义及其与函数的关系，特别注意各类信号都有其对应的物理模型。

（2）注意信号之间的关系

本章介绍的信号很多，梳理后可分为两大类信号。一类是普通函数描述的信号，核心是复指数信号，由它派生出直流信号、实指数信号、虚指数信号、正弦信号等，第二类是由奇异函数描述的信号，重点是冲激信号，由它微分可产生冲激偶信号，一些列高阶导数冲激信号，积分可产生阶跃信号、斜波信号。

三、系统的时域分析方法

系统的时域分析可以归纳为两个大问题，如下图所示。

图5

（一）方程的建立

即用数学模型来描述系统，连续时间系统用微分方程，离散时间系统用差分方程。我们的研究对象为LTI（线性时不变）系统，所以描述系统的方程为常系数线性微分/差分方程。这部分内容不是重点。

（二）响应的求解及分析

包括四个方面：

1、零输入响应

2、单位冲激响应h(t)/单位样值响应h(n)

3、零状态响应

4、响应模式分析

下面讲以下几个问题：

第一， 时域分析的两大前提：

第一个前提，任意信号可以分解为冲激信号和（这部分不展开讲，见图2）；第二个前提，讨论的系统具有线性时不变系统，故系统响应可分解为零输入响应与零状态响应之和，零状态响应又可表示为冲激响应的和。简言之，就是“信号的分解，响应的合成”。

图6

第二，关于零时刻：

零时刻：开始研究系统的时刻，也即是激励加入的时刻。0-时刻：激励加入之前的瞬时、0+时刻：激励加入之后的瞬时。

0-状态：0-时刻系统的状态；0+状态：0+时刻系统的状态。

起始点的跳变——从0-到0+状态的转换，是一个难点问题。可以参看郑君里教材。

第三，响应的求解也就是方程的求解。

高数中学习过的微分方程的求解方法（经典法）：

全解（全响应）=齐次解+特解。

信号与系统课中：

全响应=零输入响应+零状态响应。

这两者有和区别与联系？

零输入响应、零状态响应：是从“是谁来产生/引起这部分响应”这个角度来分。零输入响应，是输入为零，由系统的初始储能产生的响应；零状态响应，是系统初始储能为零，由外加激励产生的响应。

齐次解、特解：是从“响应模式的形式由谁决定”这个角度来分。齐次解的函数形式只与系统本身特性有关，由系统的特征模式决定，称为系统的自然响应；特解的函数形式由外加激励信号的形式决定，称为系统的强迫响应。

见下图所示例题。

图7

归纳如下：

自然响应=零输入响应+零状态响应中由系统特征根决定的那一部分

强迫响应=零状态响应中由输入信号特征模式决定的那一部分

换句话说：

零输入响应=一部分自然响应

零状态响应=另一部分自然响应+强迫响应

第四，单位冲激响应/单位样值响应

是特殊的零状态响应，特殊在哪呢？系统初始储能为零，仅由单位冲激信号所产生的响应。

求解方法：连续系统，用冲激平衡法；离散系统，用递推法。

第五，提醒大家，响应的时域求解方法不是重点（这里讲的系统响应的求解，也都可以用拉氏变换、z变换的方法求解）。