一、重新审视RSA
RSA之所以能作为非对称加密算法,其实有两点:
1. 基于大整数质数分解这个数学难题。这个难题,求解出来很困难,但是验证它很简单
2. 私钥签名之后,利用公钥进行验证的还原公式,RSA里面就是欧拉定理。
在比特币中,非对称加密使用的数学难题是离散对数问题。
二、椭圆曲线算法的数学难题
在阅读本节之前,可以先阅读ECC加密算法入门介绍,什么是椭圆曲线呢,并不是我们高中所学的在连续实数域二维平面上的椭圆曲线,而是定义在有限域(有限个离散的值组成的集合)射影平面上的曲线。
先不考虑有限域和射影平面,假设还是在连续实数域二维平面上,就像二维平面上其他曲线都有方程一样,椭圆曲线的方程是:
y2+ a1xy + a3y = x3+ a2x2+ a4x + a6
且曲线上的每个点都是非奇异(或光滑)的,也就是都有切线。
(下面都只讨论实数域和二维平面上的情况,理解了这部分,剩下的仅仅是扩展的问题,非常容易理解)
根据参数不同,曲线形状不同,比如
在这条曲线上定义了加法:就像上图,先定义一点G,然后过G做该椭圆曲线的切线,和椭圆曲线相交于另外一点,称为点-2G,找到点-2G关于X轴的点2G,该点在椭圆曲线上,因为比特币选定的椭圆曲线是关于X轴对称的。(根据参数不同,有很多椭圆曲线,有些不关于X轴对称,有一些关于X轴对称,比特币选定的关于X轴对称的曲线叫secp256k1)。点2G称为点G + 点G的加法。如果G做k次加法,也就是 点2G + 点G = 点3G,点3G + 点G = 点4G,一直加k次,得到点kG。
那么数学难题是什么呢?数学难题是:已知k和G,得出K = kG,是容易的,有公式直接得出,但是由kG的结果K,和点G,得出k是困难的。你看,这也是一个验证很简单,但是求解很困难的事情。为什么求解很困难?其实是相对于从k和G得出K而言的。首先需要明确的是,一步一步的计算,从k和G能得出K(正向),从K和G也能得出k(逆向),时间复杂度也就是O(k),但是如果正向计算能使用一些方法快速求出来,而这个方法对逆向计算不适用,那么就构成了计算的非对称性。椭圆曲线加密算法正是这样的,正向计算可以使用比如 倍数-和 的方法(如果加法看成是乘法,那么就叫 平方-乘 的方法),但是逆向计算仍然没有找到合适的快速的方法。该部分可以参见《密码学原理与实践》的第六章。
三、椭圆曲线算法的还原方法的设计
下面只是一个例子,还有很多其他的方法。
1. 加密签名的过程:
A. 选择一条椭圆曲线和基点GB. 选择私有密钥k,利用基点G计算公开密钥K = kGC. 产生一个随机整数r,计算点R = rGD. 将明文m和点R的坐标值x, y作为参数,计算SHA值,即Hash = SHA(m, x, y)E. 计算sn = r – Hash * kF. 将sn和Hash作为密文
2. 对应的验证过程如下
(公开的信息有:基点G,公开密钥K,sn,m和Hash)A. 计算点R(x, y) = sn * G + Hash * K
B. 计算H = SHA(m, x, y)
C. 如果H和Hash值相同,则验证成功。
因为:sn = r – Hash * k则验证公式为:sn * G + Hash * K= (r – Hash * k) * G + Hash * K= r * G – Hash * k * G + Hash * K= r * G – Hash * K + Hash * K= rG = R
(以上计算都是基于模的运算)
其实可以思考一下为啥需要一个随机数r,因为如果没有随机数,那么给出的密文是sn = Hash * k,因为Hash是已知的,所以这样暴露了k * Hash以及k * G,安全性会降低。
四、椭圆曲线算法和RSA的比较
1. 椭圆曲线算法的优点
安全性能更高
160位ECC与1024位RSA、DSA有相同的安全强度
处理速度更快
在私钥的处理速度上,ECC远 比RSA、DSA快得多
带宽要求更低
存储空间更小
ECC的密钥尺寸和系统参数与RSA、DSA相比要小得多
2. 椭圆曲线算法的缺点
设计困难,实现复杂
如果序列号设计过短,那么安全性并没有想象中的完善
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原文标题:区块链系列--比特币 (7):交易脚本中的椭圆曲线加密算法
文章出处:【微信号:AI_shequ,微信公众号:人工智能爱好者社区】欢迎添加关注!文章转载请注明出处。
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