一分钟看懂黎曼猜想及其被证明的意义

一分钟看懂黎曼猜想及其被证明的意义

“黎曼猜想”是数学界迄今最重要的猜想之一，被克雷数学研究所列为“有待解决的七大千禧问题”，并悬赏100万美元给第一个提供证明或证伪的人。

黎曼猜想之所以重要，主要是因为在现代数学中，有很多深入和重要的数学、物理结果都能在它成立的前提下得到证明。如今，大部分的数学家都倾向于相信黎曼猜想是正确的。

因此，如果黎曼猜想被证明，大家都松了一口气，我们得到了一项很好的数学工具；但是，如果黎曼猜想被证伪，那很多数学、物理结果都得推翻重来。

伯恩哈德 · 黎曼（Bernhard Riemann，1826-1866）

黎曼猜想最初于 1859 年由德国数学家波恩哈德·黎曼提出。简单说，就是根据一个重要的数学公式，能够画出无穷多个点。黎曼猜测说，这些点有一定的排列规律，一部分在一条横线上，另一部分则在一条竖线上，所有这些点都在这两条直线上排列，无一例外。

黎曼 Zeta 函数可视化

由于这些点有无穷多个，所以理论上是没有办法证明是不是所有的点都在这两条线上，因为永远也验证不完。

但是，只要找到了一个点不在线上，那就推翻了黎曼猜想。

现在，数学家使用计算机，已经验证了最初的15亿个这样的点，全都符合黎曼猜想的排列规律。不过，至今尚无人给出完整的理论证明。

因此，3天前，2018年的德国海德堡获奖者论坛日程公布，Michael Atiyah 将会做一场关于 “证明黎曼猜想” 的报告的消息便迅速传遍世界，无论是数学、物理还是计算机，甚至完全不相干的各路吃瓜群众，全都开始关注这一焦点。

黎曼猜想为何这样难证？与幻想的证明思路

德国海德堡获奖者论坛（Heidelberg Laureate Forum）是一个由国际顶级奖项（图灵奖、阿贝尔奖、林奈奖、菲尔兹奖）得主与青年学者交流的研讨会，自 2013 年开始举办，顶尖学者每年齐聚一堂，相关讨论在数学届甚至整个科学界都受到广泛关注。在这样一个大场合，倒配得上公布黎曼猜想得证的消息。

在Atiyah大新闻前夕，把从前的这个草稿写完吧。本文的标题是许多学数学的同学会问过的问题。如果能真正回答这个问题，就离解决黎曼猜想（RH）不远，所以这个问题很难回答。这里是从前的一点想法，请专家指正（没接触过这些的朋友可以看最后面，有个小问题是容易懂的）。

今天网上流传的Atiyah的5页论文，黎曼猜想（目前大家还不确定是不是Atiyah写的）：传闻Atiyah同时公布了一篇可能更厉害的论文（目前大家还不确定是不是Atiyah写的），算精密结构常数（约等于1/137的那个）：

难点一：如果黎曼猜想（RH）被证否，并不会有特别严重的后果。

必然如此，如果有严重后果，那么就可以直接用反证法证明RH了。

可与费马大定理的情况比较。费马大定理如果是错误的，那么椭圆曲线就没有了modularity，这个给人的感觉不好。所以最终费马大定理更容易被证明。

但是如果RH有反例，只能说明许多需要靠假设RH成立的定理需要重新找方法证，并不能说明这些定理是错误的。

历史上有不少起初需要靠假设RH成立，后来就不需要的例子。如Gauss的类数问题，质数分解的算法，等等。

所以，RH实际属于，如果成立非常好，但如果不成立，好像天也不会塌下来，只能说明质数具有某种意想不到的"conspiracy"。

正如 Iwaniec 说过的：

Analytic number theory is fortunate to have one of the most famous unsolved problems, the Riemann Hypothesis. Not so fortunately, this puts us in a defensive position, because outsiders who are unfamiliar with the depth of the problem, in their pursuit for the ultimate truth, tend to judge our abilities rather harshly. In concluding this talk I wish to emphasize my advocacy for analytic number theory by saying again that the theory flourishes with or without the Riemann Hypothesis. Actually, many brillian ideas have evolved while one was trying to avoid the Riemann Hypothesis, and results were found which cannot be derived from the Riemann Hypothesis. So, do not cry, there is a healthy life without the Riemann Hypothesis. I can imagine a clever person who proves the Riemann Hypothesis, only to be disappointed not to find new impotant applications. Well, an award of one million dollars should dry the tears; no applications are required!

难点二：关于zeta函数，目前的结论集中在functional equation即modularity即Langlands层面。但RH是更高一个层面的结论。

因为容易写出和Riemann zeta长得很像而且也具有函数方程、解析延拓，但是不满足相应RH的Dirichlet级数，例如Davenport-Heilbronn的例子。

对于函数方程，我们在很多zeta函数上都已经会证。但是对于RH，我们连最简单的数论情况都不会证。

由于函数方程的层面是poisson summation / trace formula，个人的感觉是，可能trace formula并不足以对付RH。不过或许最广义的Langlands还是有可能在这里起作用。

那么，如果说函数方程、解析延拓（以及某些增长速度之类）还不足以推出RH，到底还需要Dirichlet级数的什么性质？从Selberg class看，还需要的是Euler积。

看上去很普通的Euler积，其实是很神秘的。怎么正确用上Euler积是个问题。

难点三：很难说出RH在模形式那边的对应物。

很难说"一个满足RH的Dirichlet级数"在Mellin变换后会变成满足什么性质。所以这种道路似乎是困难的。

难点四：我们会证某些RH的类似物，但不知道怎么把结果转化到数域上。

经典的例子是Weil猜想的情况。由于2维的Weil猜想可以通过考虑C x C证，所以许多人希望用类似的办法证RH，比如发展F_1然后看是不是可以把Z看成F_1 x_Z F_1。但目前还没有人知道怎么做。Deligne对于高维Weil猜想的证明，实际在本质上也是类似的思路。

而且这又涉及到一个经典问题："frobenius in char. 0"是什么？无法回答。Connes的非对易几何对此曾试图有话要说。

总之，几何的方法，目前可以对付local field，对付char. p，对付函数方程，但仍然很难对付global field的RH。

还有一些很玄的方法，比如随机矩阵，比如SpecZ是三维的，比如物理Hamiltonian的思路，等等等等。

大家知道，面对很难的猜想，大家攻击不进去，都会在它旁边转来转去，有时转来转去就自动开了，更多的时候还是总得要暴力攻击进去。我觉得这些转来转去可能是越转越难。

令人困惑的问题仍然是：

怎么把Euler积这个条件正确地用上？

如果不用上这个条件，肯定不可能证出来RH。因为不用上就有反例。

Naive地看，Euler积就是算术基本定理，就是class number 1，但然后又怎样呢，不容易继续。也许先找到怎么证special value的系列猜想（Beilinson / Tamagawa etc）会相对简单些。

结语：幻想的证明思路

虽然不知道怎么证，不过可以幻想怎么证。

我猜，Weil猜想的证明方法可能会有一点启示。Deligne对于Weil猜想的证明，最终是靠一个常见而强大的技巧，考虑：

可以证明：

即：

令 k -> ∞，再运用函数方程，证毕。

简单地说，先证明能往中间推一点（k=1），然后找到【只要能推一点，就可以不断往中间推】的办法（k -> ∞），最终就推到中间了。

遗憾的是，对于RH，第一步目前仍然是做不到的。第二步也做不到，因为Z目前没有合适的代数几何结构。

或者RH需要通过反证法证。那么需要找到足够坏的反面推论。证明有了一个坏零，就可以越推越荒唐（有某种“动力系统”）。这个过程肯定是需要函数方程和迹公式，更奇怪的还是怎么用Euler积。用通俗的话说，要证明这么难的问题，肯定需要将所有条件都用上。

这种反证法有点类似现在传闻的Atiyah的5页证明的一些方法。这个传闻的5页证明很神，好像都没看到函数方程用在哪里...所以不知道真伪。

我不相信RH可以用纯解析的方法证。从前Branges的证明是纯解析，现在传闻的Atiyah好像也是纯解析。zeta有很多解析性质，但并不是zeta独有的，例如像zeta universality之类的东西都不是独有的，我认为都是不足够证明RH的。

说起来，很欣赏望月新一对于BSD的某句话，他说我们要走得更深，考虑像加法和乘法这种操作的本身的变形。也许只有这样，才能给我们足够的灵活性去证明那些最难的结论。

返璞归真：Error term问题

其实，RH最返璞归真地从代数的角度看，是对于error term的估计。但是error term的问题很难，我们连高斯圆问题都证不出来。这里以后也许会成为一种突破口，先把高斯圆问题给解决再谈RH吧。高斯圆问题现在都是用纯解析方法推，目标是0.5+ε，目前推到131/208=0.6298...就推不动了。

下面介绍高斯圆问题，又叫圆内整点问题。大家可以多关注这个问题。我们在格点纸上画个半径为r的圆，里面当然大致就有 pi r^2 个格点。

那么这个估计的误差 E(r) 是多少呢？

很明显肯定是O(r)，因为误差首先约等于圆的边长（这是很漂亮的几何观点，其实 class number formula 就是这样来的），例如高斯证明了：

但是圆很规则，实际上误差更小，大家猜是：

用Voronoi可以证O(r^{2/3})，现在可以证明到O(r^{131/208})。这个问题属于看上去很简单，实际非常难。有兴趣的可以想想。

下面继续看RH。民间数学家最流行的是证明哥德巴赫猜想，然后是费马大定理，因为这两个的表述足够简单。RH的解析表述让民间数学家看不懂。不过如果把RH写成error term的等价命题：

或者Mertens函数的等价命题，民间数学家就也可以看懂了。

但是代数的方法目前很弱，连prime number theorem都做不动。现在还没有神奇的可以进攻error term问题的代数方法。如果RH最终证明同时用很深的代数和解析，那么肯定是一个很漂亮的证明。

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