如何使用CRC算法检查数据传输的正确性

还有半个多月就要过年了，工作之后时间过得真是飞快啊，才刚刚熟悉在各种文件上签2018的日期，现在竟然又变成2019了。最郁闷的是又老了一岁，找谁说理去

大家都知道芯片有输入输出，根据不同的传输协议，输入输出的数据有可能是一串长长的数据，几十个或者几百个byte甚至更多。在数据传输过程中，由于某些意外的原因导致某些bit出现错误（0变为1，或者1变为0)，从而接受方接收到错误的数据。

为尽量提高接受方收到数据的正确率，在接收方接收数据后需要对数据进行校验，当且仅当校验的结果为正确时接收方才真正收下数据。循环冗余校验(Cyclic Redundancy Check, CRC)算法通常用于数字传输系统或者存储器中，用来检测意外事件对原数据的影响，判断接受到的数据是否正确。

下面是IC君文武双全的朋友文武写的CRC文章，IC君稍微做了优化排版和少量的编辑工作提升大家的阅读体验。

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前言：

因为CRC循环冗余校验码的算法和硬件电路结构比较简单，所以CRC是一种在工程中常用的数据校验方法。尽管CRC简单，但在工程应用中还是有些问题会对工程师产生困惑。这篇文章将从以下三个方面介绍以下CRC，希望对大家有所帮助。

CRC 的数学原理；

CRC的通项公式，怎样选取一个适合的通项公式；

CRC 硬件电路实现，串行电路到并行电路的实现。

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CRC的数学原理：

在讲CRC的数学原理之前，首先看一下下面的图。图1是A要给B发送1bit的信息0或者1。假设A发

图1

送一个0给B,系统正常的情况下B会接受到一个0。但是如果有个干扰（比如信号线的串扰）在A和B相连的传输线上，那么B就有可能接受到一个1，传输数据发生错误。

为了改进这个传输过程，A和B约定(图2)。

图2

如果A要发送一个0给B，A就在一段时间连续发送两个0（2’b00’）给B；

如果A要发送一个1信息给B，那么A就在一段时间连续发送两个1（2’b11’）给B。

如果B接受了一个2’b01或者2’b10，B就知道他们之间有干扰；

要是B接受到了一个2’b00，B就会认为A发送的信息是个0；

那么A有没有可能发的信息是2个1？这也是有可能的，不过2’b00变成2’b11比1’b0变成1’b1的概率要低的多。

如果A和B约定以图3的方式进行传输，假设A要发送一个0给B，那么A就在一段时间连续发送3个0（3’b000）给B；如果A要发送一个1信息给B，那么A就在一段时间连续发送三个1（3’b111’）给B；

如果B接受到的值为3’b001、3’b010或者3’b100，B就知道他们之间有干扰，

图3

并且B会自我判断A给自己发送的信息是0不是1。这种判断是合理的，因为误判的概率很低。

图1，图2，图3可以概括成图4。

图4 箭头上的数字是海明距（HD）

海明距离HD的定义

两个码字的对应比特值不同（异或）的总数目称为这两个码字的海明距离。一个有效编码集中,任意两个码字的海明距离的最小值称为该编码集的海明距离。

图4的第一种情况就是没有编码，0和1的码距（HD海明距）是1；

第二种情况其实就是奇偶校验，码距是2，可以检测1个错误；

第三种情况就是纠错码了，海明距是3，如果出现了1个错误是可以自己纠错的，出现小于3个错误可以检测。

第三种情况的有效码字000，其中0是信息位，00是校验位，2位的校验码来确定一位数据位，看上去有点太浪费了。

一种编码的校验和纠错能力取决于它的海明距离。为检测出d比特错，需要使用码距d+1的编码；因为d个单比特错决不可能将一个有效的码字转变成另一个有效的码字。当接收方看到无效的码字，它就能明白发生传输错误。

同样，为了纠正d比特错，必须使用码距为2d+1的编码，这是因为有效码字的距离远到即使发生d个变化，这个发生了变化的码字仍然比其它码字都接近原始码字。

通过上面的例子大家理解了码字(CODEWORD)，信息位(DATA)，校验位(CHECK SUM)，海明距(HD)等概念。

下面看一看图5的CRC计算过程

图5（来自wikipedia）

CRC在数学上就是除余运算，除数是个通项公式（固定数）,

例如G(X)=X3+X+1 （1011），

被除数11010011101100，除数1011

DATA=11010011101100，

最终得到的余数 CHECK SUM=100，

所以需要传输的CODEWORD=11010011101100100。

用上面CRC算法作为A和B的通信协议，传输数据只添加了3bit的checksum，编码效率比图2、图3提高不少。但是编码和解码算法会变复杂，所以有得必有失吧。

具体传输过程如下：

A发送DATA=11010011101100给B，

发送之前先编码

假设初始CODEWORD=11010011101100000

对G(X)=X3+X+1 （1011）除余数，

最后用初始DATA加上CHECK SUM=100得到最终发送：

CODEWORD=11010011101100100。

在B接受到CODEWORD 通过解码来检查A的发送有没有错。

解码的过程：

用CODEWORD=11010011101100100对G(X)=X3+X+1 （1011）除余数，如果余数等于0即CHECK SUM=000，就认为B接受到的数据就没有问题。

图6

余数等于0，就一定没有出错吗？当然不是，只能说出错的概率很低。这个可靠性跟CRC的G(X)通项公式和信息位的长度相关；

怎样选取一个适合的CRC通项公式呢？

CRC通项公式（生成多项式）很容易找到，网上随便一搜就会有很多。

图7（来自wikipedia）

生成多项式有很多表示方法，CRC3多项式表示法G(X)=X3+X+1；数字表示法0x3、0x6、0x5等。数字表示法简洁，在用软件语言实现CRC算法时常用。

提醒一下：当看到代码poly=0x03，很难知道多项式是什么？因为数字表示法没有统一的定义，容易产生歧义。建议写数字表示的时候附上多项式，这样不会产生误会；程序变量poly=0x03，最好后面是注释G(X)=X3+X+1。

下面总结一下数字表示法图8，CRC的最高位和最低位系数都有。这些表示法无非就是顺序排列丢掉高位或者低位；或者逆序排列丢掉高位或者低位。

图8

数字表示法这样定义是为了遵循CRC的研究者的习惯。

CRC多项式的检错能力其实有很多研究成果，这里以koopman phail举例，因为可以在作者的个人主页上找到一些算好的数据。作者还是美国著名的卡内基梅隆大学的Associate Porofesor。

在讲他的成果之前，先还是给出一下一些概念。用图6的CRC3的多项式 G(X)=X3+X+1编码：

DATA=11010011101100，

CHECK SUM=100，

CODEWORD=11010011101100100。CRC3就3个校验位最多也就8个状态，要编码的DATA=11010011101100有14位，总共就有2^14种可能的接受DATA，这么多的DATA肯定有很多校验位是相同的。

校验位CHECK SUM=100的DATA变成相同校验位但是数据不同的DATA1，在接受端是没有办法知道出错了的。所以koopman phail就把“几乎所有的多项式”做了统计，这些多项式随信息位DATA的长度的变化对应CRC多项式的海明距HD的关系。

图9就是论文中的一张图，虚线表示所有CRC8多项式的海明距的边界,横坐标表示的信息数据的长度；纵坐标表示误码率，误码率越小越好。

如果信息位是8bit以下，0x9C是比较好的多项式；

如果信息位是16bit到64bit之间， 0xEA和0x97都是比较好的多项式。

其实普通人也可以统计出来的，只要每个长度的DATA都穷举所有的码字空间再把它们的海明距找到就行。但是计算过程的运算量还是很大的，作为工程师去查koopman phail给的表就好了。如果你还是不够用，可以去koopman phail的主页上去找。

图10

现在根据图10的表格来选个好的多项式，假设CRC需要检测2（HD=3）错误，你的信息位DATA的长度是256bit那就选0x167多项式。