SVD的数据压缩原理

前言

奇异值分解（SVD）在降维，数据压缩，推荐系统等有广泛的应用，任何矩阵都可以进行奇异值分解，本文通过正交变换不改变基向量间的夹角循序渐进的推导SVD算法，以及用协方差含义去理解行降维和列降维，最后介绍了SVD的数据压缩原理 。

1. 正交变换

正交变换公式：

上式表示：X是Y的正交变换，其中U是正交矩阵，X和Y为列向量 。

下面用一个例子说明正交变换的含义：

假设有两个单位列向量a和b，两向量的夹角为θ，如下图：

现对向量a，b进行正交变换：

，的模：

由上式可知和的模都为1。

和的内积：

由上式可知，正交变换前后的内积相等。

和的夹角：

比较（2）式和（3）式得：正交变换前后的夹角相等，即：

因此，正交变换的性质可用下图来表示：

正交变换的两个重要性质：

1）正交变换不改变向量的模。

2）正交变换不改变向量的夹角。

如果向量和是基向量，那么正交变换的结果如下图：

上图可以得到重要结论：基向量正交变换后的结果仍是基向量。基向量是表示向量最简洁的方法，向量在基向量的投影就是所在基向量的坐标，我们通过这种思想去理解特征值分解和推导SVD分解。

2. 特征值分解的含义

对称方阵A的特征值分解为：

其中U是正交矩阵，是对角矩阵。

为了可视化特征值分解，假设A是2×2的对称矩阵，，。（2.1）式展开为：

用图形表示为：

由上图可知，矩阵A没有旋转特征向量，它只是对特征向量进行了拉伸或缩短（取决于特征值的大小），因此，对称矩阵对其特征向量（基向量）的变换仍然是基向量（单位化）。

特征向量和特征值的几何意义：若向量经过矩阵变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩，那么该向量是矩阵的特征向量，伸缩倍数是特征值。

3. SVD分解推导

我们考虑了当基向量是对称矩阵的特征向量时，矩阵变换后仍是基向量，但是，我们在实际项目中遇到的大都是行和列不相等的矩阵，如统计每个学生的科目乘积，行数为学生个数，列数为科目数，这种形成的矩阵很难是方阵，因此SVD分解是更普遍的矩阵分解方法。

先回顾一下正交变换的思想：基向量正交变换后的结果仍是基向量。

我们用正交变换的思想来推导SVD分解：

假设A是M*N的矩阵，秩为K，Rank(A)=k。

存在一组正交基V：

矩阵对其变换后仍是正交基，记为U：

由正交基定义，得：

上式展开：

∴ （3.2）式得：

即假设成立 。

图形表示如下：

正交向量的模：

单位化正交向量，得：

结论：当基向量是。

用矩阵的形式表示（3.3）式：

V是N*K矩阵，U是M*K矩阵，是M*K的矩阵，需要扩展成方阵形式：

将正交基扩展空间的正交基，即U是M*M方阵 。

将正交基扩展成空间的正交基，其中是矩阵A的零空间，即：

对应的特征值=0，是M*N对角矩阵,V是N*N方阵

因此（3.4）式写成向量形式为：

得：

（3.5）式写成向量形式：

令：

则：

A = XY

因为X和Y分别是列满秩和行满秩，所以上式是A的满秩分解。

（3.5）式的奇异矩阵的值是特征值的平方根，下面推导奇异值分解的U和V：

即V是的特征向量构成的矩阵，称为右奇异矩阵。

即U是的特征向量构成的矩阵，称为左奇异矩阵 。

小结：矩阵A的奇异值分解：

其中U是的特征向量构成的矩阵，V是的特征向量构成的矩阵，奇异值矩阵的值是特征值的平方根 。

3. 奇异值分解的例子

本节用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。矩阵A定义为：

4. 行降维和列降维

本节通过协方差的角度去理解行降维和列降维，首先探讨下协方差的含义：

单个变量用方差描述，无偏方差公式：

两个变量用协方差描述，协方差公式：

多个变量（如三个变量）之间的关系可以用协方差矩阵描述：

相关系数公式：

由上式可知，协方差是描述变量间的相关关系程度：

1）协方差cov(x,y) > 0时，变量x与y正相关；

2）协方差cov(x,y)<0时，变量x与y负相关；

3）协方差cov(x,y)=0时，变量x与y不相关；

变量与协方差关系的定性分析图：

现在开始讨论和的含义：

假设数据集是n维的，共有m个数据，每一行表示一例数据，即：

表示第i个样本，表示第i个样本的第j维特征 。

由上式可知，是描述各特征间相关关系的矩阵，所以的正交基V是以数据集的特征空间进行展开的。

数据集A在特征空间展开为：

由上一篇文章可知，特征值表示了在相应特征向量的信息分量。特征值越大，包含矩阵的信息分量亦越大。

若我们选择前r个特征值来表示原始数据集，数据集A在特征空间展开为：

（4.2）式对列进行了降维，即右奇异矩阵V可以用于列数的压缩，与PCA降维算法一致。

行降维：

由上式可知：是描述样本数据间相关关系的矩阵，因此，左奇异矩阵U是以样本空间进行展开，原理与列降维一致，这里不详细介绍了 。

若我们选择前r个特征值来表示原始数据集，数据集A在样本空间展开为：

因此，上式实现了行降维，即左奇异矩阵可以用于行数的压缩。

5. 数据压缩

本节介绍两种数据压缩方法：满秩分解和近似分解

矩阵A的秩为k，A的满秩分解：

满秩分解图形如下：

由上图可知，存储X和Y的矩阵比存储A矩阵占用的空间小，因此满秩分解起到了数据压缩作用。

若对数据再次进行压缩，需要用到矩阵的近似分解。

矩阵A的奇异值分解：

若我们选择前r个特征值近似矩阵A，得：

如下图：

我们用灰色部分的三个小矩阵近似表示矩阵A，存储空间大大的降低了。

6. SVD总结

任何矩阵都能进行SVD分解，SVD可以用于行降维和列降维，SVD在数据压缩、推荐系统和语义分析有广泛的应用，SVD与PCA的缺点一样，分解出的矩阵解释性不强 。