快速傅里叶变换FFT进行串讲-电子发烧友网

本文对离散信号的频域分析（共5节）中的第4节——快速傅里叶变换FFT（Fast- Fourier Transform）进行串讲。

首先大家需要知道的是，FFT并不是一种新的变换，它仅仅是作为DFT的快速算法。本节包括下列内容：

4.1 改进DFT计算的方法

1. DFT计算量分析

观察正变换和反变换的公式可知，二者的运算方式和运算量是完全相同的。下面的分析均以DFT正变换为例。（顺便说一句，大家要像熟悉自己的手机一样熟悉旋转因子，闭着眼睛都知道它）

观察DFT正变换的公式，容易看出：每计算一个点的数据，需要N次复数乘法、N-1次复数加法，所以，N点DFT，需要N的平方次复数乘法，N(N-1)次复数加法。我们知道，DFT的点数，至少要取成序列的长度，当序列长度很长时，运算量巨大！如下图所示。

以1024点为例，复数乘法的次数100万次之多。

1965年，库利（J.W.Cooley）和图基（J.W.Tukey）在《Mathmatics of Computation》上发表了《AnAlgorithm for the Machine Calculation of Complex Fourier Series》，提出一种高效DFT运算的快速算法，后人称为快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform ——FFT）。

2. 改进DFT计算效率的基本途径

N点DFT，直接计算，需要N的平方次乘法；分成2个N/2点DFT分别计算，乘法的次数是1/2的N的平方，减少了一半；分成4个N/4点DFT，乘法的次数又减少了一半。如果能够继续下去，前景很让人向往。

为了能够一直分下去，我们限定N为2的整数次幂，即：N=2^M，称为基2FFT。

由此可见，FFT的基本思想是：把长序列分成几个较短的序列。

但怎么分？不能随便乱分，基本原则是：要保证这几个短序列的DFT组合起来后，能够很方便地构成原来长序列的DFT。

所以，DFT快速算法要解决的两个核心问题是：怎么分？怎么合？

根据分与合的方式不同，有两种基2FFT算法，分别称为：

按时间抽取的FFT算法——Decimation-in-Time，简称DIT-FFT。

按频率抽取的FFT算法——Decimation-in-Frequency，简称DIF-FFT。

下面我们分别来归纳总结两种基2FFT算法。

4.2 两种基2FFT算法

1. 按时间抽取（DIT）FFT算法

以第一次分解（N点分为2个N/2点）为例来说明算法原理。

首先解决怎么分的问题。

通俗地说，就是：大家列队、报数（从0开始）。报偶数的一组，奇数的一组。

然后解决怎么合的问题。

我们略过看似艰苦卓绝实际很简单的推导过程，直接上结论：

公式不好看，有人画了一幅图，并且起了个好听的名字：蝶形运算符号。

下面的动图演示了蝶形运算的过程：

以8点长序列为例，我们来看分解为2个4点长DFT，是如何通过蝶形运算合成8点DFT的：

经过第一次分解之后，总的运算量=两个N/2点DFT的运算+N/2个蝶形的运算。而每次蝶形运算，只需要1次乘法，2次加法。所以，总的乘法次数为

加法次数为

当N很大时，运算量减少了近一半。

这就给了我们信心，说明这种分解思路是可以有效减少运算量的。我们继续分解下去，经过M-1次分解，分解为N/2 个 2 点长序列。

而2点DFT也用蝶形运算来表示（因为计算机最擅长一致而重复的东西），就得到下面的流图：

2. 按频率抽取（DIF）FFT算法

仍以第一次分解（N点分为2个N/2点）为例来说明算法原理。

以8点长序列为例，我们来看分解为2个4点长DFT，是如何通过蝶形运算合成8点DFT的：

注意到，输出的频率数据，序号是按照偶数一组、奇数一组的顺序排列的，所以这种算法称为：按频率抽取。

我们继续分解下去，经过M-1次分解，分解为N/2 个 2 点长序列，就得到下面的流图：

3. 运算量分析

通过前面的分析可见，两种基2FFT算法，运算量是一样的，N点DFT，就分解成了若干个蝶形的运算而已。

多少个蝶形呢？序列长度 N=2^M，共有 M级蝶形，每级N/2 个蝶形，共MN/2个。

而每个蝶形是1次复数乘法，2次复数加法。所以总的运算量为：

以N=1024=2^10为例，直接计算DFT，需要1024的平方=1048576

次乘法，而采用FFT只需要（1024/2）×10=5120次乘法，二者的比值为204.8。运算量减少了好几个数量级。

频率作为自然界的一个基本物理量，是很多领域研究的重要内容。人们很早就认识到，用DFT的方法可以有效进行信号的频率分析。但是因为DFT算法运算量很大，在数字计算机发明以前，运算效率普遍很低的情况下，DFT也更多的是一种理论分析工具，很难被用于实际的信号处理。

FFT的出现，破解了这一历史性难题，极大地促进了数字信号处理这门学科的应用和发展。有人甚至以FFT算法提出的1965年作为数字信号处理这门学科的诞生之年。

4. 算法特点

在计算机看来，这两种算法是非常相像的。

首先来看第一个特点：同址运算（又称同位运算或原位运算），每完成一个蝶形运算，输入的两个数据就没有用的，这就意味着，不需要再重新开辟新的存储单元来保存输出数据，计算结果仍保留在原输入数据占据的存储单元即可。

再来看第二个特点：输入/输出数据的顺序。这是两种算法的不同之处。以DIT-FFT为例来说明为什么会输入倒位序。

还是以8点长数据为例，输入数据的正常顺序是x(0)、x(1)、x(2)......x(7)，我们称之为自然顺序。按照序号的奇偶分为两组，第一组是x(0)、x(2)、x(4)、x(6)，第二组是x(1)、x(3)、x(5)、x(7)。每个新的组再重新排队报数，按奇偶分，第一组又分成两个组，分别是x(0)、x(4)和x(2)、x(6)，第二组分成两个组，分别是x(1)、x(5)和x(3)、x(7)。

也就是说，8点长序列的DIT-FFT，输入数据的顺序是：x(0)、x(4)、x(2)、x(6)、x(1)、x(5)、x(3)、x(7)。这个序号的顺序乍看杂乱无章，其实有规律性。0、1、2、3、4、5、6、7的顺序与0、4、2、6、1、3、5、7有何关系的呢？用二进制来写一目了然，看下面的动图：