RC积分器电路公式及增长案例曲线摘要

RC积分器是一个串联RC网络，产生一个输出信号，对应于积分的数学过程。

对于无源RC积分电路，输入连接到电阻输出电压取自电容器，与 RC微分电路完全相反。输入为高电容时电容充电，输入电压低时放电。

在电子产品中，基本串联电阻 - 电容（RC）电路有许多用途和应用，从基本充电/放电电路到高阶滤波器电路。这个双组分无源RC电路可能看起来很简单，但根据所施加输入信号的类型和频率，这个基本RC电路的行为和响应可能会有很大差异。

无源RC网络是只不过是与电容器串联的电阻器，它是与电容器串联的固定电阻，该电容器具有频率相关的电抗，随着其板上的频率增加而减小。因此，在低频时，电容的电抗Xc很高，而在高频时，由于Xc = 1 /（2πC）的标准电容电抗公式，其电抗很低，我们在关于被动的教程中看到了这种效应低通滤波器。

如果输入信号是正弦波，rc积分器将简单地用作其切割之上的简单低通滤波器（LPF）截止点或转角频率对应于串联网络的RC时间常数（tau，τ）。因此，当用纯正弦波馈电时，RC积分器充当无源低通滤波器，将其输出降低到截止频率点之上。

正如我们之前所见，RC时间常数反映了这种关系电阻和电容之间的时间与时间的关系，以秒为单位，与电阻R和电容C成正比。

因此，充电或放电的速率取决于RC时间常数，τ= RC 。考虑下面的电路。

RC积分器

对于RC积分电路，输入信号通过电容器输出电阻，然后V OUT 等于V C 。由于电容器是频率相关元件，所以在板上建立的电荷量等于电流的时域积分。也就是说，电容器需要一定的时间才能完全充电，因为电容器不能立即以指数方式充电。

因此电容器电流可写为：

上面 i C = C（dVc / dt）的基本等式可以也可以表示为电荷的瞬时变化率，Q相对于时间给出以下标准公式： i C = dQ / dt 其中电荷 Q = C x Vc ，即电容乘以电压。

电容器充电（或放电）的速率与电阻和电容量成正比，给出时间常数电路。因此，RC积分电路的时间常数是等于R和C乘积的时间间隔。

由于电容等于电荷的Q / Vc，Q是电流的流量（i ）随着时间的推移（t），这是库仑中的ixt的乘积，并且从欧姆定律我们知道电压（V）等于ix R，将这些代入RC时间常数的等式得出：

RC时间常数

然后我们可以看到，当i和R都取消时，只剩下T指示RC积分器电路的时间常数具有以秒为单位的时间维度，给出希腊字母tau，τ。请注意，此时间常数反映了电容器充电至最大电压的63.2％或放电至最大电压的36.8％所需的时间（以秒为单位）。

电容器电压

我们之前说过，对于RC积分器，输出等于电容器两端的电压，即： V OUT 等于V C 。该电压与电荷成正比，Q存储在电容上，由下式给出：Q = VxC。

结果是输出电压是输入电压的积分，积分量取决于R和C的值以及因此网络的时间常数。

我们在上面看到电容器电流可以表示为电荷变化率Q相对于时间。因此，根据微积分的基本规则，Q相对于时间的导数是dQ / dt，并且当i = dQ / dt时，我们得到以下关系：

Q =∫idt （电容器在任何时刻的电荷Q）

由于输入连接到电阻器，相同的电流，我必须通过电阻器和电容器（i R = i C ）在电阻器两端产生V R 电压降，因此电流（i）流过这个系列的RC网络如下：

因此：

当i = V IN / R时，替换和重新排列以求解V OUT 作为时间的函数给出：

换句话说，RC积分电路的输出，即电容两端的电压等于时间积分输入电压V IN 加权1 / RC的常数。其中RC表示时间常数，τ。

然后假设电容器上的初始电荷为零，即V OUT = 0，并且输入电压V IN 是恒定的，输出电压V OUT 在时域中表示为：

RC积分公式

因此RC积分电路是输出电压V OUT 与电路成正比的电路输入电压的积分，考虑到这一点，让我们看看当我们以阶跃电压的形式将单个正脉冲施加到RC积分电路时会发生什么。

单脉冲RC积分器

当单级电压脉冲施加到RC积分器的输入端时，电容器会响应脉冲通过电阻充电。然而，输出不是瞬间的，因为电容器两端的电压不会瞬间改变，而是随着电容器以RC时间常数τ= RC确定的速率充电而呈指数增长。

我们现在知道电容器充电或放电的速率取决于电路的RC时间常数。如果施加理想的阶跃电压脉冲，即前沿和后沿被认为是瞬时的，则电容器两端的电压将随充电而增加，并随着时间的推移而逐渐减小，其速率由下式确定：

电容器充电

电容器放电

因此，如果我们假设电压为1伏（1V），我们可以绘制每个R时间常数的电容充电或放电百分比，如下表所示。

请注意，在5个时间常数或以上，电容被认为是100％完全充电或完全放电d。

现在我们假设我们有一个RC积分器电路，由一个100kΩ电阻和一个1uF电容组成，如图所示。

RC积分电路示例

因此，RC积分电路的时间常数τ为：RC =100kΩx1uF= 100ms。

所以如果我们将一个阶跃电压脉冲施加到输入端，其持续时间为两个时间常数（200mS），那么从上表我们可以看出电容器将充电到其完全充电值的86.4％。如果此脉冲的幅度为10伏，那么这相当于8.64伏，然后当输入脉冲返回到零时电容器再次通过电阻器放电回到源。

如果我们假设电容器是允许在5个时间常数的时间内完全放电，或者在下一个输入脉冲到达之前500mS，然后充电和放电曲线图如下所示：

RC积分器充电/放电曲线

请注意，电容器的初始值为8.64伏（2个时间常数），而不是从10伏输入开始。

然后我们可以看到，当RC时间常数固定时，输入脉冲宽度的任何变化都会影响RC积分电路的输出。如果脉冲宽度增加且等于或大于5RC，则输出脉冲的形状将与输入的形状类似，因为输出电压达到与输入相同的值。

If然而，脉冲宽度减小到5RC以下，电容器只会部分充电而没有达到最大输入电压，导致输出电压变小，因为电容器不能充电，导致输出电压与输入电压的积分成正比。

因此，如果我们假设输入脉冲等于一个时间常数，即1RC，则电容器将在0伏特和10伏特之间充电和放电，但是在电容器两端的电压的63.2％和38.7％之间。更改。请注意，这些值由RC时间常数确定。

固定RC积分器时间常数

因此，对于连续脉冲输入，输入的周期时间与电路的RC时间常数之间的正确关系，输入的积分将产生一种斜升，然后是斜降输出。但是为了使电路作为积分器正常工作，与输入周期时间相比，RC时间常数的值必须很大。这是RC？T，通常是10倍。

这意味着输出电压的大小（与1 / RC成比例）在高压和低压之间将非常小，从而严重削弱输出电压。这是因为电容器在脉冲之间充电和放电的时间要少得多，但平均输出直流电压将增加到输入的一半，在上面的脉冲示例中，这将是5伏（10/2）。

RC积分器作为正弦波发生器

我们已经看到， RC积分器电路可以通过施加脉冲输入来执行积分操作，从而产生斜坡由于电容器的充电和放电特性，输出和降低三角波输出。但是如果我们改变过程并对输入应用三角波形会发生什么呢？我们会得到脉冲波或方波输出吗？

当RC积分电路的输入信号是脉冲形输入时，输出是三角波。但是当我们应用三角波时，由于斜坡信号随时间的积分，输出变为正弦波。

有许多方法可以产生正弦波形，但是一种简单而廉价的电子方式产生正弦波型波形是使用一对串联连接在一起的无源RC积分电路，如图所示。

正弦波RC积分器

这里，第一个RC积分器将原始脉冲整形输入转换为斜升和斜降三角波形，该波形成为第二个RC积分器的输入。第二个RC积分电路将三角波的点对齐，将其转换为正弦波，因为它有效地对原始输入信号进行双积分，RC时间常数影响积分程度。

由于斜坡的积分产生正弦函数（基本上是舍入三角波形），其以赫兹为单位的周期频率将等于原始脉冲的周期T.另请注意，如果我们反转此信号并且输入信号是正弦波，则该电路不会充当积分器，而是作为具有正弦波的简单低通滤波器（LPF），纯波形不会改变形状，只有它的幅度受到影响。

RC积分器摘要

我们在这里看到RC积分器基本上是一个串联RC低通滤波器电路，当施加阶跃电压脉冲时其输入产生的输出与其输入的积分成比例。这产生了一个标准公式： Vo =∫Vi dt 其中Vi是馈送到积分器的信号，Vo是积分输出信号。

输入阶跃函数的积分产生类似三角斜坡函数的输出，其幅度小于原始脉冲输入的幅度，衰减量由时间常数确定。因此，输出波形的形状取决于电路的时间常数与输入脉冲的频率（周期）之间的关系。

RC积分器时间常数总是与周期T相比较输入，因此较长的RC时间常数将产生与输入信号相比具有低幅度的三角波形状，因为电容器具有较少的完全充电或放电时间。短时间常数使电容器有更多的时间进行充电和放电，从而产生更典型的圆形形状。

通过将两个RC积分电路并联连接，可以实现对输入脉冲的双重积分。这种双重积分的结果是第一积分电路将阶跃电压脉冲转换成三角波形，第二积分电路通过舍入三角波形的点来转换三角波形，产生正弦波输出波形，大大减少振幅。