巴特沃斯滤波器频率设计及增益多项式方程

在之前的滤波器教程中，我们研究了简单的一阶型低通和高通滤波器，它们的RC滤波器电路设计中只包含一个电阻器和一个无功元件（电容器）。

在使用滤波器对信号的频谱进行整形的应用中，例如在通信或控制系统中，滚降的形状或宽度也称为“过渡带”，对于简单的一阶滤波器，可能是太长或太宽，因此需要设计有多个“订单”的有源滤波器。这些类型的过滤器通常称为“高阶”或“n th -order”过滤器。

复杂性或过滤器类型由过滤器“order”定义，这取决于其设计中的电容器或电感器等无功元件的数量。我们还知道，滚降率和过渡带的宽度取决于滤波器的阶数和简单的一阶滤波器，它具有20dB / decade或6dB的标准滚降率。 /octave.

然后，对于具有n th 数字顺序的滤波器，它将具有20n dB / decade或6n dB / octave的后续滚降率。因此，一阶滤波器的滚降率为20dB / decade（6dB /倍频程），二阶滤波器的滚降率为40dB / decade（12dB /倍频程），四阶滤波器具有滚降率为80dB / decade（24dB / octave）等等。

高阶滤波器，例如三阶，四阶和五阶通常是通过单个级联在一起形成的 -

例如，两个二阶低通滤波器可以级联在一起，产生一个四阶低通滤波器，依此类推。尽管可以形成的滤波器的顺序没有限制，但随着顺序的增加，其尺寸和成本也会增加，其精度也会下降。

十年和八度

一个关于十年和 Octaves 的最终评论。在频率范围内，十年是十倍增加（乘以10）或十倍减少（除以10）。例如，2到20Hz代表十年，而50到5000Hz代表二十年（50到500Hz，然后是500到5000Hz）。

Octave是倍增（乘以2）或将频率刻度减半（除以2）。例如，10到20Hz代表一个倍频程，而2到16Hz是三个倍频程（2到4,4到8，最后是8到16Hz），每次倍频。无论哪种方式，对数标度在频域中广泛用于表示使用放大器和滤波器时的频率值，因此了解它们非常重要。

对数频率标度

h3>

由于频率确定电阻器全部相等，并且频率确定电容器，截止或角落也是如此第一，第二，第三或甚至四阶滤波器的频率（ƒ C ）也必须相等，并使用我们现在熟悉的等式找到： / p>

与一阶和二阶滤波器一样，三阶和四阶高通滤波器由简单地在等效低通滤波器中交换频率确定部件（电阻器和电容器）的位置。可以按照我们之前在低通滤波器和高通滤波器教程中看到的步骤设计高阶滤波器。但是，高阶滤波器的总增益是固定的因为所有频率确定分量都相等。

滤波器近似值

到目前为止，我们已经看过了低通和高通一阶滤波器电路，它们产生的频率和相位响应。一个理想的滤波器将为我们提供最大通带增益和平坦度的规范，最小阻带衰减以及阻止频带滚降（转换频带）的非常陡峭的通带，因此显然会有大量的网络响应满足这些要求。

毫不奇怪，线性模拟滤波器设计中有许多“近似函数”，它们使用数学方法来最好地逼近滤波器设计所需的传递函数。

这种设计被称为Elliptical，Butterworth，Chebyshev，Bessel，Cauer以及许多其他人。在这五个“经典”线性模拟滤波器近似函数中，只有Butterworth滤波器，尤其是低通巴特沃斯滤波器设计在这里被认为是最常用的函数。 / p>

低通巴特沃斯滤波器设计

巴特沃斯滤波器近似函数的频率响应通常也被称为“最大平坦”（无波纹）响应，因为通带设计为具有频率响应，该频率响应在数学上可以从0Hz（DC）变为平坦，直到-3dB的截止频率没有纹波。超过截止点的较高频率在阻带中以20dB / decade或6dB /倍频程下降至零。这是因为它具有“质量因子”，“Q”仅为0.707。

然而，Butterworth滤波器的一个主要缺点是它以宽带过渡带为代价实现了这种通带平坦度。当滤波器从通带变为阻带时。它的相位特性也很差。对于不同的滤波器阶数，理想的频率响应（称为“砖墙”滤波器）和标准巴特沃斯近似值如下所示。

巴特沃斯滤波器的理想频率响应

请注意，巴特沃斯滤波器阶数越高，滤波器设计中的级联级数越高，滤波器越接近理想的“砖墙”然而，在实践中，Butterworth的理想频率响应是无法实现的，因为它会产生过多的通带纹波。

其中广义方程表示“nth”订购Butterworth滤波器，频率响应如下：

其中： n 表示滤波器顺序，Omega ω等于2πƒ，Epsilon ε是最大通带增益（A max ）。如果A max 的定义频率等于截止-3dB角点（ƒc），则ε将等于1，因此ε 2 也将是一个。但是，如果您现在希望将A max 定义为不同的电压增益值，例如1dB或1.1220（1dB = 20 * logA max ）则新值epsilon，ε可通过以下方式找到：

转换等式给出：

过滤器的频率响应可以通过传递函数<在数学上定义/ b>标准电压传递函数 H（jω）写为：

注意：（jω）也可以写成（s）来表示S域。和结果传递函数一秒钟 - 阶低通滤波器如下：

归一化低通巴特沃斯滤波器多项式

帮助他的设计低通滤波器，Butterworth生成归一化二阶低通多项式的标准表，给出系数值对应于1弧度/秒的截止转角频率。

（1个+ S）（1 + 0.618s + S 2 ）（1 + 1.618s + S 2 ）

滤波器设计 - 巴特沃斯低通

查找有源低通巴特沃斯滤波器的顺序其规格如下： A max = 0.5dB ，通带频率（ωp）为200弧度/秒（31.8Hz），在800弧度/秒的阻带频率（ωs）处， A min = -20dB 。还要设计合适的巴特沃斯滤波器电路以满足这些要求。

首先，最大通带增益 A max = 0.5dB 等于增益1.0593，记住：0.5dB = 20 * log（A），频率（ωp）为200 rads / s，因此epsilon ε的值可通过以下方式找到：

其次，最小阻带增益A min = -20dB，等于增益（-20dB = 20 * log（A））在800 rads / s或127.3Hz的阻带频率（ωs）。

代替值为Butterworth滤波器频率响应的一般方程给出了以下内容：

自 n 必须始终为整数（整数），然后下一个最高值为2.42 n = 3 ，因此需要“三阶滤波器”并且要产生三阶巴特沃兹滤波器，需要与一阶滤波器级级联的二阶滤波器级。

从归一化低通Butte上面的rworth多项式表，三阶滤波器的系数给出为（1 + s）（1 + s + s 2 ），这给了我们一个增益 3-A = 1 ，或 A = 2 。当 A = 1 +（Rf / R1）时，为反馈电阻 Rf 和电阻 R1 选择一个值会得到1kΩ和1kΩ分别为：（1kΩ/1kΩ）+ 1 = 2 。

我们知道截止角频率，-3dB点（ω o ）可以使用公式 1 / CR 找到，但我们需要找到ω o 来自通带频率ω p 然后，

因此，截止转角频率为284 rads / s或45.2Hz，（284 /2π）并使用熟悉的公式 1 / CR 我们可以找到三阶电路的电阻和电容值。

注意最接近的首选值为0.352 uF为0.36uF，或 360nF 。

三阶巴特沃斯低通滤波器

最后我们的三阶低通电路巴特沃斯滤波器带有截止角啁啾为284 rads / s或45.2Hz，最大通带增益为0.5dB，最小阻带增益为20dB，构造如下：

因此我们的三阶巴特沃斯低通滤波器的转折频率为45.2Hz，C = 360nF且R =10kΩ