参数根轨迹和多回路系统的根轨迹

参数根轨迹和多回路系统的根轨迹

4.6.1 参数根轨迹 ⒈引言 前面讨论系统根轨迹的绘制方法时，都是以开环增益K为可变参数，这是在实际上最常见的情况。上述以开环增益K 为可变参量绘制的根轨迹称为常规根轨迹。从理论上讲，可变参量可以选择为系统的任何参数，如开环零、极点，时间常数和反馈系数等，这种以K以外的系统其他参量作为可变参量绘制的根轨迹，称作参数根轨迹，又称广义根轨迹。用参数根轨迹可以分析系统中的各种参数，如开环零、极点，时间常数和反馈系数等对于系统性能的影响。 ⒉思路和方法 如果选择系统其他参量为可变参量时，引入等效传递函数的概念，即作一个变换，使得此可变参量在等效传递函数中相当于开环增益K的位置，则上面介绍的幅角、幅值条件和绘制根轨迹的各种规则都依然有效。 上述变换的方法是对系统的特征方程作一个除法，即以特征方程中不含有该参数项的各项去除该方程，便可得到 的形式，其中，就是要引入的等效传递函数。 例4-4 设反馈系统如图4-16所示 ，试绘制以a为参变量的根轨迹。 图4-16 ⑴. 常规方法 ⑴. 系统的开环传递函数为 系统的特征方程为 以不含a的项，即，除以上式得 得等效开环传递函数： 式中 据此,可用“常规方法”作出其根迹，如图4-17所示（可证明，其部分根迹为园弧）。 ①.根迹的起迄点及条数: 两条根迹分支,分别起始于开环极点-1+j3、-1-j3,终止于开环零点0和s平面∞处。 ②.实轴上的根迹： 负半实轴为根迹。 ③.会合点： 由 。 ④.复数极点-1+j3出射角： ⑵.“MATLAB”方法 ①解本题的MATLAB程序exe44.m % ks/(s2+2s+10) n=[1 0] d=[1 2 10] rlocus(n,d) ②执行本程序,可得图4-17参数根轨迹图。 图4-17 4.6.2 多回路系统的根轨迹 1.引言 前面介绍单环系统根迹，不仅适合单环，而且也适合多环系统。 2.思路和方法 先作内环根迹，再用幅值条件试探求出内环的闭环极点，进而作为外环的一部分开环极点，再画出外环的根迹。 例4-5 设一双环反馈系统，如图4-18所示 。试绘制以 c为参变量的根轨迹。 图4-18 ⑴.常规方法 ①.先作内环根迹: 内环开环传递函数为： 此与例4-1相同，这里不再重复。 ②.求出 =1.06 时的内环闭环极点(用试探法): 由§4―3可知，为：-0.33+j0.58、 -0.33-j0.58、 -2.33 ③.内环的闭环传递函数为： ④. 内环化简后外环的开环的传递函数为： ⑤.外环（系统）根轨迹: ·根轨迹有四条分支： 分别自0, -2.33,-033+j0.58,0.33-j0.58。至-1,-3,和s平面∞处。 ·实轴上根迹： 在 0 至-1,-2至-2.33,-3至-∞是根轨迹。 ·根迹渐近线： 由公式求得σα=0.5,α=±90B 。 ·复数极点-0.33+j0.58,外的出射角： φ=8.06B 。 ·根迹与虚轴交点： ·系统外环根迹: 如图4-19所示. ⑵.“MATLAB”方法 ①.解本题的MATLAB程序exe45.m: % k(s+1)(s+3)/s(s+0.33+0.58i)(s+0.33-0.58i)(s+2.33) z=[-1 –3]’; p=[0 –2.33 –0.33+0.58i –0.33-0.58i]’; k=1; [n,d]=zp2tf(z,p,k); rlocus(n,d) title(‘4-19’) ②.执行本程序,可得外环根轨迹图4-19。 图4-19