滤波器的截止频率和品质因数详解

　　滤波器的截止频率（F0 ）一般地是指幅度响应比通带低3 dB时的频率。对于切比雪夫滤波器， 有时可以定义为幅度响应降至通带以外时的频率。例如， 一个0.1 dB切比雪夫滤波器的F0 可以定义为响应下降》 0.1 dB 时的频率。 如果考察的是实际频率与截止频率之比，而不是实际频率 本身，则衰减曲线的形状（以及相位和延迟曲线，它们定 义着滤波器的时域响应）将是相同的。将滤波器归一化至 1 rad/s，则可开发出一种简单的滤波器设计和比较系统。 在此基础上，用截止频率对滤波器进行缩放，以确定实际滤波器的元件值。

　　滤波器的品质因数（Q）有时也表示为α，其中： 这通常称为阻尼比。请注意，有时使用ξ，其中：若Q 》 0.707，则滤波器响应中会有些峰值化现象。若Q 《 0.707，F0 处的滚降会稍大；斜率将更平坦些，滚降发生的 时间将提前。对于2极点低通滤波器的峰值化量与Q的关系如图1所示。

　　

　　用ωo 和Q改写传递函数H（s）：

　　

　　其中，H0 为通带增益且ωo = 2π F0 。 现在，我们将用该低通原型来设计滤波器。

　　高通滤波器

　　把低通原型的传递公式H（s）的分子改为H0 s2 ，结果将使低 通滤波器变成高通滤波器。该高通滤波器的响应在形状上 与低通滤波器相似，只是频率反相而已。 高通滤波器的传递函数为：

　　

　　2极点高通滤波器的响应如图2所示。

　　

　　带通滤波器

　　把低通原型的分子改为Ho ωo 2 ，结果将把滤波器变成一个 带通函数。 带通滤波器的传递函数为：

　　（5）

　　其中：ω为滤波器增益峰值化时的频率（F0 = 2 π ω0 ）。 H0 为电路增益，定义为：

　　H0 = H/Q. （6）

　　对带通响应来说，Q有特殊意义。它是滤波器的选择性。 定义为：

　　（7）

　　其中，FL 和FH响应比最大值相差–3 dB时的频率。 滤波器的带宽（BW）定义为

　　（8）

　　请注意，可以证明，谐振频率（F0 ）为FL和FH的几何平均 值，这就意味着，F0 在对数尺度上将出现在FL 和FH二者的中点。

　　

　　另需注意的是，在对数尺度上，带通响应的波裙在F0 左右 始终是对称的。

　　带通滤波器对各种Q值的响应如图3所示。

　　

　　这里需要提醒一下。带通滤波器有两种定义方式。窄带情 况为经典定义，如图3所示。

　　然而，在某些情况下，如果高、低截止频率相差很大，则 带通滤波器采用独立的高通和低通部分进行构造。这里所 说的相差很大是说至少相差2个倍频程（频率×4）。这是使 用宽带的情况。

　　带阻（陷波）滤波器

　　把分子改为s2 + ωz 2 ，就可以将滤波器转换成一种带阻或陷 波滤波器。就如带通滤波器一样，如果带阻滤波器的转折 频率之间间隔大于一个倍频程（宽带情况），则可用单独的 低通和高通部分构造。因此，我们将采用以下规范：窄带 带阻滤波器将称为陷波滤波器，宽带带阻滤波器称为带阻 滤波器。

　　陷波（或带阻）传递函数为：

　　（9）

　　陷波滤波器的特性有三种情况，如图4所示。极点频率ω0 与零点频率ωz 的关系决定着滤波器是标准陷波、低通陷 波，还是高通陷波。

　　

　　如果零点频率等于极点频率，则存在标准陷波。在此例 中，零位于jω平面，其中，定义极点频率的曲线与轴相 交。

　　当零点频率大于极点频率时，会发生低通陷波。这种情况 下，ωz 位于极点频率曲线之外。对实际应用来说，这意味 着，滤波器在ωz 以下的响应将大于ωz 以上的响应。结果形 成一种椭圆形的低通滤波器。

　　当零点频率小于极点频率时，会产生高通陷波滤波器。这 种情况下，ωz 位于极点频率曲线之内。对实际应用来说， 这意味着，滤波器在ωz 以下的响应将小于ωz 以上的响应。 结果形成一种椭圆形的高通滤波器。

　　陷波宽度随Q的变化情况如图5所示。