定点小数的编码方法

定点小数的编码方法

　　用定点小数引出数值的三种编码(原码、补码和反码)方法是最方便的。

　　(1) 原码表示法，是用机器数的最高一位代表符号，以下各位给出数值绝对值的表示方法。其定义为：

　　　　　[X]_原= (2.9)

　　例如， X=+0.1011， [X]_原=01011
　　　　　 X=-0.1011， [X]_原=11011

　　按定义，当X=-0.1011时，[X]_原= 1-X= 1.0000-(-0.1011) =11011。这里的X为数的实际值，即相应机器数的真值，[X]原为原码表示的机器数。

　　原码的性质:
　　① 在原码表示中,机器数的最高位是符号位,0代表正号,1代表负号,以下各位是数的绝对值，即[X]_原 = 符号位 + |X|。
　　② 在原码表示中，零有两种表示形式，即
　　　 [+0.0]_原=00000， [-0.0]_原=10000
　　设X、Y的真值分别为X=+0.0000，Y=-0.0000。则按原码定义[X]_原=00000, [Y]_原= 1-Y = 1+0.0000 = 10000，因此零有原码两种表示形式。
　　③ 原码表示方法的优点,是在数的真值和它的原码表示之间的对应关系简单，相互转换容易，用原码实现乘除运算的规则简单。缺点是用原码实现加减运算很不方便。要比较参与加减运算两个数的符号，要比较两个数的绝对值的大小，还要确定运算结果的正确的符号等，因此在计算机中经常用后面介绍的补码实现加减运算。

(2) 补码表示法，是用机器数的最高一位代表符号，以下各位给出数值按2取模结果的表示方法,其定义为

　　　　　[X]_补= (2.10)

　　例如:
　　　　　X=+0.1011， [X]_补=01011
　　　　　X=-0.1011， [X]_补=10101

　　按补码的定义，当Ｘ＝－0.1011时，[X]_补 = 2+X =10.0000+(-0.1011) = 10101。

　　补码的性质:

　　① 在补码表示中，机器数的最高一位是符号位，0代表正号，1代表负号。机器数和它的真值的关系,是 [X]_补 = 2*符号位 + X。

　　② 在补码表示中，0有唯一的编码，即 [+0.0]_补 = [-0.0]_补 = 00000
　　　 假定X = +0.0000, Y = -0.0000,依据补码定义, 则有
　　　 [X]_补 = X = 00000， [Y]_补= 2+Y = 10.0000+0.0000 = 10.0000 = 00000
　　　 此处最后一步实现按2取模，处在小数点左侧第二位上的1去掉了。

　　③ 补码表示的两个数在进行加法运算时,可以把符号位与数值位同等处理，只要结果不超出机器能表示的数值范围，运算后的结果按2取模后，得到的新结果就是本次加法运算的结果，即机器数的符号位与数值位都是正确的补码表示，即:
　　　 [X+Y]_补 = [X]_补 + [Y]_补 MOD 2 (2.11)
　　这一结论极为重要。

　　例如, X =+0.1010, Y = -0.0101，则:
　　　[X]_补= 01010, [Y]_补= 11011，求得:
　　　[X]_补 + [Y]_补 = 01010+11011 = 100101 ，按2取模后,符号位前边一位上的1去掉，则最后结果为00101，其真值为 +0.0101。符号位与数值位均正确。

　　又如，X1=X2=-0.1000,则[X1]_补=[X2]_补 =11000 那么[X+X]_补=11000+11000=110000，按2取模后得10000，它的真值为-1。由此看出,用补码表示定点小数时,它能表示-1的值。

　　④ [X]_补与其真值的关系。假定[X]_补= X₀X₁X₂…X_n，则有[X]_补= 2X₀+X，此关系对X为正、为零和为负都是正确的。X为正时，X₀应为0，[X]_补= 2*0 + X = X，X为负时，X₀应为1，[X]_补 = 2*1+X = 2 + X ，均与补码的定义吻合。由此又可以得到从[X]补求X的关系，即由机器数求其代表的真值的关系如下:
　　　X = [X]_补 - 2X₀
　　　　= X₀X₁X₂…X_n - 2X₀
　　　　= -X₀ + 0.X₁X₂…X_n (2.12)

　　当X为正数时，X₀=0 真值 X = [X]_补 ;
　　当X为负数时，X₀=1 真值 X = -1 + 0.X₁X₂…X_n = -(1-0.X₁X₂…X_n)。
　　对补码的数值部分求补，并加上符号即得真值。

　　例如［Ｘ_补＝10110，则Ｘ的真值 = -(1-0.0110) = -0.1010。当已知补码而需求此数的真值时可采用此法，此公式在推导补码乘法的运算算法中很有用。

　　⑤ 补码的算术移位
　　将[X] _补的符号位与数值位一起右移一次并保持原符号位的值不变，可实现除法功能(除以2)，即[X/2]_补= X₀X₀X₁X₂…X_n-1X_n。今考虑X为正、负数两种情况。
　　
　　设: X= 0.0110, [X]_补=00110,右移一位得00011，是X除以2的补码结果。
　　设: X=-0.0110，[X]_补=11010，计算 [X/2]_补=11101，再按④求真值得X/2=-0.0011，说明得到的确实是X除以2的结果。

　　为了得到一个数的补码表示，当然可以通过补码的定义求得,但更简便的办法是：
　　当X≥0时，[X]_补的符号位取0，数值位取X的各数值位上的值，此时有[X] _补=[X] _原。

　　当X<0时，[X]_补的符号位取1，将X的各数值位取反(0变1,1变0)再在最低位加1，以得到 [X]补的各数值位上的值。

　　从[X]_原求 [X] _补时,对正数或零,有[X] _补=[X]_原，对负数，是符号位不变，各数值位变反后再在最低位执行加1操作。同理,由[X]_补求 [X]_原时，对负数仍是符号位不变，各数值位变反后再在最低位执行加1操作。

　　在说明补码的性质(3)时，特别强调两个数的补码相加，仅在其运算结果不超出机器能表示的数值范围时，运算结果才是正确的，否则得到的结果不正确。如[X]补+[Y]补=01001+01010=10011。两个大于0.5的正数相加，结果的符号位变成负号，数值部分也是错误的。这是因此参加运算的两个数的和大于1，超出了机器所能表示的范围，产生了所谓的 "溢出"。对负数也会产生溢出，如[X]_补+[Y]_补=10101+10100=01001，两个负数相加，结果的符号位却变成正号，说明结果是错误的。

　　为了方便判别结果是否溢出,某些机器采用变形补码,又称模4补码表示方法,其定义为：

　　　　[X]_补= (2.13)

　　也就是常说的双符号位的补码表示。例如:
　　　　X=+0.1011， [X]_补=001011
　　　　X=-0.1011， [X]_补=110101
　　
　　按模4补码定义，当X=-0.1011时，[X]_补= 4+X = 100.0000+(-0.1011) = 110101。从上式的结果可以看出，模4补码的表示就是在模2补码表示的符号位之前再增加与原符号同值的另一个符号位。

　　模4补码的性质:
　　① 模4补码的两个符号位相同，00表示正号，11表示负号，其数值位与其模2补码相同。当符号位为01或10时，表示数值溢出。01表示两个正数相加之和≥1的情况，通称数值 "上溢"；为10时,表示两个负数相加，而其和小于-1的情况，通称数值 "下溢"。前面的1个符号位是正确的符号位。

　　② 在模4补码表示中,零有唯一的编码,即 [+0.0]_补 = [-0.0]_补= 000000。模4补码能表示-1，即为110000，与模2补码的情况非常类似。

　　模4补码具有模2补码的全部优点，而且更容易检查加减运算中的溢出情况。有必要指出，存储每个模4的补码数时，只要存一个符号位，因为任何一个正确的数值，其模4补码的两个符号位总是相同的。只在把两个模4补码的数送往算术与逻辑运算部件完成加减计算时,才把每个数的符号位的值同时送到算术与逻辑运算部件的两位符号位，即只在算术与逻辑运算部件中采用双符号位。
3) 反码表示法，是用机器数的最高一位代表符号，数值位是对负数值各位取反的表示方法,其定义为

　　　　[X]_反 = (2.14)

　　例如， X=+0.1011， [X]_反 =01011
　　　　　 X=-0.1011， [X]_反 =10100

　　正数的反码与其原码、补码相同。

　　反码的性质:
　　① 在反码表示中，机器数最高位为符号位，0代表正号，1代表负号，负数的机器数和它的真值之间的关系为:
　　　 [X]_反 = ((2-2^-n)+X) MOD(2-2^-n)

　　用反码进行两数相加时，若最高位有进位，还必须把该进位值加到结果的最低位，才能得到真正的结果，这一操作通称 "循环进位"。

　　　X= +0.1011, Y=-0.0100，有[X]_反 =01011, [Y]_反 =11011,
　　　[X+Y]_反 = [X]_反 + [Y]_反 = 01011 + 11011 = 100110，最高位有进位,要加到结果的最低位，得 00110 + 00001 = 00111，即 +0.0111。
　
　　又如， X= +0.1011， Y= +0.0100，[X+Y]_反 = [X]_反 + [Y]_反 = 01011+00100=01111，最高位无进位值,得到的已是最终结果。

　　② 在反码表示中,零有两个编码,即
　　[+0.0]_反 = 00000 , [-0.0]_反 = 11111
　　有人也称反码为1的补码(One's Complement),它的实际模为2-2^-n。这里的-n为最低位的位序号。
　　用反码实现算术运算不方便，0值又有两个编码，用得不很普遍。