lyapunov指数解析

混沌系统的基本特点就是系统对初始值的极端敏感性，两个相差无几的初值所产生的轨迹，随着时间的推移按指数方式分离，lyapunov指数就是定量的描述这一现象的量。

　　Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。对于系统是否存在动力学混沌, 可以从最大Lyapunov指数是否大于零非常直观的判断出来: 一个正的Lyapunov指数,意味着在系统相空间中,无论初始两条轨线的间距多么小,其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测,这就是混沌现象。

　　Lyapunov指数的和表征了椭球体积的增长率或减小率,对Hamilton 系统,Lyapunov指数的和为零; 对耗散系统,Lyapunov指数的和为负。如果耗散系统的吸引子是一个不动点,那么所有的Lyapunov指数通常是负的。如果是一个简单的m维流形(m = 1或m = 2分别为一个曲线或一个面) ,那么,前m 个Lyapunov指数是零,其余的Lyapunov指数为负。不管系统是不是耗散的,只要λ1 > 0就会出现混沌。

　　微分动力系统L yapunov指数的性质

　　对于一维(单变量) 情形,吸引子只可能是不动点(稳定定态) 。此时λ是负的。对于二维情形, 吸引子或者是不动点或者是极限环。对于不动点,任意方向的δxi , 都要收缩, 故这时两个Lyapunov指数都应该是负的, 即对于不动点, (λ1 ,λ2 ) = ( - , - ) 。至于极限环,如果取δxi 始终是垂直于环线的方向,它一定要收缩,此时λ < 0;当取δxi沿轨道切线方向,它既不增大也不缩小,可以想像,这时λ = 0。事实上,所有不终止于定点而又有界的轨道(或吸引子) 都至少有一个Lyapunov指数等于零,它表示沿轨线的切线方向既无扩展又无收缩的趋势。所以极限环的Lyapunov指数是(λ1 ,λ2 ) = (0, - ) 。

　　在三维情形下有

　　(λ1 ,λ2 ,λ3 ) = ( - , - , - ) :稳定不动点;

　　(λ1 ,λ2 ,λ3 ) = (0, - , - ) :极限环;

　　(λ1 ,λ2 ,λ3 ) = (0, 0, - ) :二维环面;

　　(λ1 ,λ2 ,λ3 ) = ( +, +, 0) :不稳极限环;

　　(λ1 ,λ2 ,λ3 ) = ( +, 0, 0) :不稳二维环面;

　　(λ1 ,λ2 ,λ3 ) = ( +, 0, - ) :奇怪吸引子。

　　李雅谱诺夫指数小于零，则意味着相邻点最终要靠拢合并成一点，这对应于稳定的不动点和周期运动;若指数大于零，则意味着相邻点最终要分离，这对应于轨道的局部不稳定，如果轨道还有整体的稳定因素（如整体有界、耗散、存在捕捉区域等），则在此作用下反复折叠并形成混沌吸引子。指数越大，说明混沌特性越明显，混沌程度越高