傅里叶级数和傅里叶变换的关系

　　傅里叶级数和傅里叶变换：

　　傅里叶级数对周期性现象做数学上的分析

　　傅里叶变换可以看作傅里叶级数的极限形式，也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。

　　除此之外，傅里叶变换还是处理信号领域的一种很重要的算法。要想理解傅里叶变换算法的内涵，首先要了解傅里叶原理的内涵。

　　傅里叶原理表明：对于任何连续测量的数字信号，都可以用不同频率的正弦波信号的无限叠加来表示。

　　傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。

　　傅里叶级数针对的是周期性函数，傅里叶变换针对的是非周期性函数，它们在本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加。

　　傅里叶级数

　　 周期函数

　　凡是满足以下关系式：

　　

　　（T为常数） 的函数，都称为周期函数。

　　傅里叶级数的性质

　　傅里叶级数是一类特殊的函数项级数，对周期性现象进行数学上的分析，其在理论和应用上都有重要价值。

　　1）收敛性

　　

　　傅里叶变化与傅里叶级数之间的区别与联系

　　傅里叶级数是周期变换，傅里叶变换是一种非周期变换

　　傅里叶级数是以三角函数为基对周期信号的无穷级数展开，如果把周期函数的周期取作无穷大，对傅里叶级数取极限即得到傅里叶变换。

　　傅里叶变换是从傅里叶级数推演而来的，傅里叶级数是所有周期函数都可以分解成一系列的正交三角函数，这样，周期函数对应的傅里叶级数即是它的频谱函数

　　傅里叶级数是周期信号的另一种时域的表达方式，也就是正交级数，它不同频率的波形的叠加，而傅里叶变换就是完全的频域分析

　　傅里叶级数

　　为什么要有傅里叶级数

　　傅里叶级数（Fourier Series）是用一系列正弦波（Sinusoid）来描述任何周期函数的一种方法。图1中的三条曲线分别是周期为1秒的方波，正弦波和三角波。由于正弦和余弦只有相位差，故统称正弦波。

　　

　　图1. 周期为1秒的方波，正弦波，三角波

　　在介绍傅里叶级数之前，让我们先来回顾一下级数的概念。级数是用一个无穷数列的加和来逼急一个数。函数项级数则是用一个函数列的加和来逼近一个函数。

　　

　　

　　称为定义在（a，b）内的函数项级数。为什么要把一个看似简单的函数分解成一大堆函数的和呢？因为有些函数直接研究起来比较困难，以某种形式的级数进行展开，对里面的每一项单独研究，会变得更简单，也使得计算更加容易。级数有千千万万种，如泰勒级数，等比级数，调和级数等等。但是有一种由正弦函数组合而成的级数，显得尤为重要。这就是傅里叶级数。为什么傅里叶技术格外重要呢？这要归功于正弦函数优秀的性质。我们将函数展开成级数是为了获得更加简便和易于计算的形式。而当正弦波输入一个系统时，输出仍然是一个正弦波，只有振幅、相位和频率会发生变化，而不像其他的级数会使函数形式本身发生改变。这使得傅里叶级数在分析函数时具有了巨大的优势。此外，由于通信系统中电磁场与电磁波，以及诸多物理原理都与正弦信号有关，所以造就了傅里叶级数如此重要的地位。

　　傅里叶级数是怎么来的

　　傅里叶级数的得出

　　假如有两个周期函数（Periodic Function），它们的频率分别为f1和f2，那么他们的叠加还是一个周期函数吗？频率又是多少呢？显然，两个不同频率的周期函数叠加仍然是一个周期函数，叠加后函数的周期是两个原函数周期的最小公倍数。因此，当一组频率为

　　

　　的周期函数叠加时，叠加后的函数频率必然为1HZ。然而，如果采用了诸如1.1HZ，2.5HZ，3，12435HZ之类频率的级数项，则输出频率将陷入混乱，所以这里只选取如1HZ，2HZ，3HZ，。。。，nHZ，。。。的频率作为级数项。1HZ可以作为基本频率，改写作fJZ， 则级数项将变为fHZ，2fHZ，3fHZ，。。。，nfHZ，。。。。回想图1中周期为1秒的方波函数，我们可以将它表示成

　　

　　然而，上面我们所表示的函数恰好是一个周期为1秒的奇函数。如果用上面的公式来逼近一个偶函数则无法实现。所以，若f（t）是一个周期为1秒的偶函数，则

　　

　　因此，当f（t）是一个周期为T，频率为f的一般函数，既有奇函数成分也有偶函数成分，此外，作为奇函数或偶函数对称点可能相对原点产生位移，易知这个位移不会影响函数的形状，可以用一个常数来表示，为了后续计算方便，这个位移记作a02，则有

　　

　　至此，我们已经得到了傅里叶级数的完整表达形式。

　　傅里叶级数中参数的确定与函数的正交性

　　那么如何确定上面公式中的bn呢？在这之前，然我们来谈谈什么是函数的正交性。学过线性代数的同学都知道，两个向量的正交是通过内积为零来定义的。而内积则是将向量的对应项相乘再求和来得到的。假设我们有一个任意长度的向量，每两个元素之间的距离无限小，那么我们就可以把这样两个向量看作两个连续的函数。类比内积的概念，两个函数正交也就是将两个函数赋予相同的自变量，再相乘，再做积分，如果积分等于零，则说明这两个函数在积分域上是正交的。

　　我们高兴的发现，不同频率的三角函数具有如下的正交性。其中

　　

　　傅里叶变换

　　为什么要有傅里叶变换

　　在上一章，我们已经清楚的知道如何使用傅立叶级数去描述任何一个周期函数，其中傅里叶级数将一个周期函数描述成离散频率正弦函数的组合，即在频域上离散。然而，我们要分析的函数中常常会有非周期函数，这就需要傅里叶变换而不是傅里叶级数来描述这类函数。频域不同于时域，是从另一个角度观察客观世界的一种方式。其将无限动态的世界看成是注定的和静止的。从频域理解世界，更像是上帝看世界的方式。

　　对于任何一个非周期函数，我们都可以认为其可以通过一个周期函数的周期趋于无穷转化而来。周期趋于无穷也就意味着频率趋于零，以及角速度趋于零。也就是说，一个非周期函数会通过傅里叶变换被描述成连续的正弦函数的组合，即在频域上连续。基于这个思想，傅里叶级数即将演化成傅里叶变换。

　　从傅里叶级数到傅里叶变换

　　傅里叶级数的指数形式

　　让我们从傅里叶级数开始：

　　

　　

　　极限求得傅里叶变换

　　在为什么要有傅里叶级数一节中，我们已经说过傅里叶变换其实就是傅里叶级数的周期趋近于无穷。因此，假设我们的目标非周期函数为f（x），由傅里叶级数逼近的周期函数为ft（x），则

　　

　　因此，

　　

　　因此，将x替换成t，则

　　

　　从上面两个式子我们可以看出，第一个式子相当于将一个时域函数f（t）变换成了频域函数f（w），而第二个式子相当于将频域函数f（w）变换为时域函数f（t）。那么一个时域函数变换到频域后，再变换回时域，还是不是它自身呢？这个问题就相当于f（t）=f（t）是否成立，也可以说成傅里叶变换是不是一一对应的。下面我们用反证法来探究这个问题。

　　假设傅里叶变换不是一一对应的。那么应该有

　　

　　因此，假设不成立。傅里叶变换具有一一对应性。至此，我们已经完整的得到了傅立叶变换。