自顶向下和逐步求精

介绍

分治法是计算机科学中很重要的一种思想。英文为Divide and Conquer，直译即为分治，或者分而治之。直观的理解就是将一个大而难的问题分解为一些小而易的问题，先解决这些易于解决的小问题，再合并这些小问题的解（合并可以是分别求出小问题的解再合并，或者是直接将相同的小问题合并只求解一次），从而得到大问题的解。需要注意的是小问题必须和大问题是同一个类型的问题，或者说解法相同，这样才可以递归求解。我们发现，这种实际上是自顶向下地分解问题。

我们可以说分治思想是被极广泛运用的思想。
很多算法和数据结构采用了这种思想。另外计算机图像渲染将像素点分配给GPU内的多个流处理器分别处理，最后合成出一帧的图像；也会将一个矩阵乘法分解成n个部分分配给n个处理器并行处理。

下面介绍一些采用了分治思想的算法和数据结构。

算法

快速排序
数列每次按小于某个数（可能是数列的首尾元素或者是随机选择或者是三值取中法等）的和大于某个数的标准划分为两个子序列，但子序列内的顺序和在原数列内的顺序一样，时间复杂度期望nlogn

归并排序
将数列从中间切成两半，分别递归解决两半的排序问题，再合并解，即合并两个有序数列，由于每次合并需要花费O(n)的时间，因此时间复杂度为O(nlogn)。

为了能更好地理解分治的思想，我们详细介绍一下归并排序。
比如我们定义mergeSort(array: list, from: int, to: int)为归并排序函数，那么我们可以这么写：

join(a: list, b) =if(either a or b is empty) b or aelseif(a[1] < b[1]) [a[1]] + join(a[2:], b)else[b[1]] + join(a, b[2:])mergeSort(array) = join(mergeSort(array[1:mid]), mergeSort(array[mid+1:]))wheremid = length(array) /2

join函数表示合并两个有序数列，复杂度为O(n)，意思就是有两个指针i和j一开始分别指向a和b的首元素。这是i和j之前的元素都已经被检查过了，如果a[i] mergeSort函数就是归并排序了，我们取中点均分了数列array到array[1..mid]和array[mid+1..n]，两个子序列经过mergeSort后就是有序的了，这时我们花费O(n)的时间就可以合并两个有序数列，而不需要再像选择排序那样每次都找一遍最值。
如果我们在纸上画出递归的过程：

|---------------| |0000| |---------------| |11|22| |-------|-------| |3|4|5|6| |---|---|---|---|

数字表示递归方法的节点编号。
递归的层数最多是log2n，对于每个元素都被访问了O(log2n)次，因此时间复杂度为O(nlogn)。

到这里读者可能会想到log的底（或者是每次划分的子问题个数）是不是越大越好呢？显然不是，应该与实际问题相适应。如果划分的子问题数过多，那么合并子问题的时候就会导致麻烦。比如归并排序的有序数列合并，我们之前认为的O(n)的合并是基于划分2次的。如果我们令划分的子序列数为b，那么最终的时间复杂度是O(bnlogbn)。我们将其可以写成