欧拉定理_欧拉定理的意义

　　欧拉定理

　　在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。在数论中，欧拉定理（Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。欧拉定理实际上是费马小定理的推广。此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理（在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2）。西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。另有欧拉公式。

　　1、初等数论中的欧拉定理：　　对于互质的整数a和n，有a^φ（n） ≡ 1 （mod n）

　　证明：

　　首先证明下面这个命题：

　　对于集合Zn={x1，x2，。。。，xφ（n）}，其中xi（i=1，2，…φ（n））是不大于n且与n互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系），考虑集合S = {a*x1（mod n），a*x2（mod n），。。。，a*xφ（n）（mod n）}

　　则S = Zn

　　1） 由于a，n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于p互质，因此任意xi，a*xi（mod n） 必然是Zn的一个元素

　　2） 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj则a*xi（mod n） ≠ a*xi（mod n），这个由a、p互质和消去律可以得出。所以，很明显，S=Zn既然这样，那么

　　（a*x1 × a*x2×。。。×a*xφ（n））（mod n）

　　= （a*x1（mod n） × a*x2（mod n） × 。。。 × a*xφ（n）（mod n））（mod n）

　　= （x1 × x2 × 。。。 × xφ（n））（mod n）

　　考虑上面等式左边和右边

　　左边等于（a*（x1 × x2 × 。。。 × xφ（n））） （mod n）

　　右边等于x1 × x2 × 。。。 × xφ（n））（mod n）

　　而x1 × x2 × 。。。 × xφ（n）（mod n）和n互质

　　根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：a^φ（n） ≡ 1 （mod n）

　　推论：对于互质的数a、n，满足a^（φ（n）+1） ≡ a （mod n）

　　费马定理：

　　a是不能被质数p整除的正整数，则有a^（p-1） ≡ 1 （mod p）

　　证明这个定理非常简单，由于φ（p） = p-1，代入欧拉定理即可证明。

　　同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有a^p ≡ a （mod p） 2、平面几何里的欧拉定理：（1） （Euler定理）设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2-2Rr．

　　证明：如右下图，O、I分别为⊿ABC的外心与内心．

　　连AI并延长交⊙O于点D，由AI平分ÐBAC，故D为弧BC的中点．

　　连DO并延长交⊙O于E，则DE为与BC垂直的⊙O的直径．

　　由圆幂定理知，R2-d2=（R+d）（R-d）=IA·ID．（作直线OI与⊙O交于两点，即可用证明）

　　但DB=DI（可连BI，证明ÐDBI=ÐDIB得），故只需证2Rr=IA·DB，即2R∶DB=IA∶r 即可．

　　而这个比例式可由⊿AFI∽⊿EBD证得．故得R2-d2=2Rr，即证．

　　（2）四边形ABCD的两条对角线AC、BD的中点分别为M、N，则：AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4MN^2.

　　证明：如右上图，连接BD、BM，由中线公式有AB^2+BC^2=2（BM^2+AM^2）.DA^2+CD^2=2（DM^2+AM^2，又BM^2+DM^2=2（BN^2+MN^2），4AM^2=AC^2， 4BN^2=BD^2，故AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2（BM^2+DM^2）

　　+4AM^2=4BN^2+4MN^2+4AM^2=AC^2+BD^2+4MN^2

　　注：当A、B、C、D为空间四点时，结论依然成立，且有AB^2+BC^2+CD^2+DA^2≥ AC^2+BD^2，此结论为第四届美国数学奥林匹克试题

　　［编辑本段］欧拉公式　　简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系

　　V+F-E=2

　　这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。

　　欧拉定理的意义

　　（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律

　　（2）思想方法创新：定理发现证明过程中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；方法上将底面剪掉，化为平面图形（立体图→平面拉开图）。

　　（3）引入拓扑学：从立体图到拉开图，各面的形状、长度、距离、面积等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。

　　定理引导我们进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。

　　（4）提出多面体分类方法： 在欧拉公式中， f （p）=V+F-E 叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们，简单多面体f （p）=2。 除简单多面体外，还有非简单多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面。其欧拉示性数f （p）=16+16-32=0，即带一个洞的多面体的欧拉示性数为0。

　　（5）利用欧拉定理可解决一些实际问题如：为什么正多面体只有5种？ 足球与C60的关系？否有棱数为7的正多面体？等。