Curvelet变换的数字实现与应用 - Curvelet变换在图像处理中的应用综述

　　Curvelet变换的数字实现

　　根据上述理论，Starck等人提出了一种Curvelet变换的数字实现算法，其主要步骤为

　　子带分解采用trous小波算法把图像分解到不同的子带

　　分块每一个子带加窗处理，而且每隔一个子带，窗口的宽度增加一倍

　　数字Ridgelet分析对每一个正方块进行Ridgelet变换其中包括二维傅氏变换、直角坐标转换成极坐标、在各角度对应直线上分别作一维傅氏逆变换和一维小波变换等几个中间步骤

　　数字Curvelet逆变换的实现只需将上述步骤逆序进行即可。

　　Curvelet变换的应用

　　由前述的Curvelet变换基本思想及其特性可知，它相对于小波变换的最大特点是具有高度的各向异性，因此具有更强的表达图像中沿边缘信息的能力在图像处理中，边缘往往是最重要的特征，它对于进一步的处理和分析有着至关重要的意义而在实际情况中，图像边缘又常被其他因素削弱，比如为噪声所掩盖，等等在这种环境下，Curvelet变换所表达的沿边缘信息对于恢复图像主要结构的视觉特征的优势是不言而喻的下面主要介绍Curvelet变换在图像去噪、增强、融合、恢复等几个方面的应用方法及其效果

　　利用Curvelet变换抑制图像噪声

　　去除加性噪声

　　传统的图像随机噪声消除或抑制的方法可分为频域滤波方法和空域平滑方法，其缺点是都要损失大量的图像信息目前较新而且有效的去噪方法是小波域滤波但是小波算法用于图像去噪有内在的局限性，因为对图像进行二维小波变换以后，重要边缘上的系数即使在很精细的尺度下也很大，这意味着要重建图像边缘，就必须保留大量的小波系数根据统计原理，数据的精简与其精确性之间有矛盾，即便取二者之间最好的折衷，仍将导致较高的均方误差由于Curvelet变换能用极少的非零系数精确表达图像边缘，因此可以在保证较低的均方误差基础上，达到较理想的图像数据的精简性与精确性的平衡，从而体现出它在噪声环境下优于小波的表达图像的能力

　　基于Curvelet变换的去噪算法概要：对图像进行Curvelet变换，然后对每个子带的变换系数做硬阈值处理，最后进行Curvelet逆变换得到去噪图像在阈值的选取上，是保留较大的系数，舍弃较小的系数，因为根据Curvelet变换理论，较大的Curvelet系数对应于较强的边缘，反之为噪声图1是我们在实验中截取的Lena图像去噪的部分结果，其中图1（a）为高斯噪声污染的原图，图1（b）为非抽样小波去噪结果，图1（c）为Curvelet去噪结果

　　

　　通过对几幅内嵌高斯白噪声的标准图像进行实验，结果显示Curvelet算法的峰值信噪比（PSNR）高于多数基于小波的方案，而且Curvelet重建的图像不会产生像小波重建图像的沿边缘的走样（artifact）如抽样小波算法会产生边界扭曲现象并损失大量细节;非抽样小波的边界效果虽然略好，但有时仍忽略了某些脊（ridge），还会显示出一些小尺度的嵌入污点可见即使只是简单的取硬阈值，Curvelet去噪算法的PSNR与较复杂的小波去噪算法相当甚至更高在中等程度或高噪声背景下，Curvelet算法的结果图在视觉上更清晰，特别对于恢复边缘和微弱的线性及曲线结构非常有效

　　上述去噪方案仍有不足，由于采用的Ridgelet变换有环绕（warparound）现象，影响了Ridgelet变换以直线为单位分析图像的性质肖小奎等人的解决方案是对一n*n图像补零至2n*2n个点后再进行离散傅里叶变换，从而避免了进行一维傅里叶反变换时所出现的混迭现象此外，由于Starck等人在去噪时采用了硬阈值，对小波系数的衰减又在频域中进行，所以去噪后的图像中呈现出一定的振铃效应对此，肖小奎等人将频域中小波系数变换到时域中再进行硬阈值去噪，同时改进了Xu等人提出的子带相关去噪法，将其与硬阈值法进行了结合实验证明去除了环绕现象，去噪后的图像PSNR值和视觉效果都有所改进

　　变化后系数矩阵维度的理解

　　下表显示了对图像做C = fdct_wrapping（X，0，2，6，16）;变换后，得到系数C的详细信息，其中原始图片大小为512*512。最内层即Coarse是由低频系数组成的一个矩阵，最外层Fine是高频系数组成的矩阵。