卡诺图化简法例题详解

　　一、卡诺图概念

　　卡诺图是逻辑函数的一种图形表示。一个逻辑函数的卡诺图就是将此函数的最小项表达式中的各最小项相应地填入一个方格图内，此方格图称为卡诺图。卡诺图的构造特点使卡诺图具有一个重要性质：可以从图形上直观地找出相邻最小项。两个相邻最小项可以合并为一个与项并消去一个变量。

　　二、卡诺图结构特点

　　卡诺图中最小项的排列方案不是唯一的，变量的坐标值0表示相应变量的反变量，1表示相应变量的原变量，变量的取值变化规律按“循环码”变化［1］。各小方格依变量顺序取坐标值，所得二进制数对应的十进制数即相应最小项的下标i。

　　在五变量卡诺图中，为了方便省略了符号“m”，直接标出m的下标i。

　　归纳起来，卡诺图在构造上具有以下两个特点：

　　☆n个变量的卡诺图由2^n个小方格组成，每个小方格代表一个最小项；

　　☆卡诺图上处在相邻、相对、相重位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项。

　　可以从图形上直观地找出相邻最小项。两个相邻最小项可以合并为一个与项并消去一个变量。

　　三、卡诺图的性质

　　卡诺图的构造特点使卡诺图具有一个重要性质：可以从图形上直观地找出相邻最小项合并。合并的理论依据是并项定理AB+AB=A。例如，

　　根据定理AB+AB=A和相邻最小项的定义，两个相邻最小项可以合并为一个与项并消去一个变量。例如，4变量最小项ABCD和ABCD相邻，可以合并为ABD；ABCD和ABCD相邻，可以合并为ABD；而与项ABD和ABD又为相邻与项，故按同样道理可进一步将两个相邻与项合并为BD。

　　用卡诺图化简逻辑函数的基本原理就是把上述逻辑依据和图形特征结合起来，通过把卡诺图上表征相邻最小项的相邻小方格“圈”在一起进行合并，达到用一个简单“与”项代替若干最小项的目的。

　　通常把用来包围那些能由一个简单“与”项代替的若干最小项的“圈”称为卡诺圈。

　　逻辑函数在卡诺图上的表示

　　1．给定逻辑函数为标准“与-或”表达式

　　当逻辑函数为标准“与-或”表达式时，只需在卡诺图上找出和表达式中最小项对应的小方格填上1，其余小方格填上0，即可得到该函数的卡诺图。

　　例如，3变量函数F（A，B，C）=∑m（1，2，3，7）的卡诺图如图2．6所示。

　　图2．6函数F（A，B，C）=∑m（1，2，3，7）的卡诺图

　　2．逻辑函数为一般“与-或”表达式

　　当逻辑函数为一般“与-或”表达式时，可根据“与”的公共性和“或”的叠加性作出相应卡诺图。

　　例如，4变量函数F（A，B，C，D）=AB+CD+A·BC的卡诺图如图2．7所示。

　　图2．7函数F（A，B，C，D）=AB+CD+A·BC的卡诺图

　　填写该函数卡诺图时，只需在4变量卡诺图上依次找出和“与项”AB、CD、A·BC对应的小方格填上1，便可得到该函数的卡诺图。

　　当逻辑函数表达式为其他形式时，可将其变换成上述形式后再作卡诺图。

　　为了叙述的方便，通常将卡诺图上填1的小方格称为1方格，填0的小方格称为0方格。0方格有时用空格表示。