进制数及转换详解

数制的概念　　数制是人们利用符号进行计数的科学方法。数制有很多种，在计算机中常用的数制有：十进制，二进制和十六进制。

　　数制也称计数制，是指用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。计算机是信息处理的工具，任何信息必须转换成二进制形式数据后才能由计算机进行处理,存储和传输。

 

十进制数（Decimal）

　　人们通常使用的是十进制。它的特点有两个：有0，1，2….9十个基本数字组成,十进制数运算是按“逢十进一”的规则进行的.

　　在计算机中,除了十进制数外,经常使用的数制还有二进制数和十六进制数.在运算中它们分别遵循的是逢二进一和逢十六进一的法则.

 

二进制数（Binary）

　　二进制数有两个特点：它由两个基本数字0，1组成，二进制数运算规律是逢二进一。

　　为区别于其它进制数，二进制数的书写通常在数的右下方注上基数2，或加后面加B表示。

　　例如：二进制数10110011可以写成（10110011）2,或写成10110011B,对于十进制数可以不加注.计算机中的数据均采用二进制数表示,这是因为二进制数具有以下特点：

　　1） 二进制数中只有两个字符0和1，表示具有两个不同稳定状态的元器件。例如，电路中有，无电流，有电流用1表示，无电流用0表示。类似的还比如电路中电压的高，低，晶体管的导通和截止等。

　　2） 二进制数运算简单，大大简化了计算中运算部件的结构。

　　二进制数的加法和乘法运算如下：

　　0+0=0 0+1=1+0=1 1+1=10

　　0×0=0 0×1=1×0=0 1×1=1

 

八进制数（Octal）

　　由于二进制数据的基R较小，所以二进制数据的书写和阅读不方便，为此，在小型机中引入了八进制。八进制的基R=8=2^3，有数码0、1、2、3、4、5、6、7，并且每个数码正好对应三位二进制数，所以八进制能很好地反映二进制。八进制用下标8或数据后面加Q表示 例如：二进制数据 （ 11 101 010 . 010 110 100 ）2 对应 八进制数据 ( 3 5 2 . 2 6 4 )8或352.264Q.

 

十六进制数（Hex）

　　由于二进制数在使用中位数太长,不容易记忆,所以又提出了十六进制数

　　十六进制数有两个基本特点:它由十六个字符0～9以及A，B，C，D，E，F组成（它们分别表示十进制数10～15），十六进制数运算规律是逢十六进一，即基R=16=2^4，通常在表示时用尾部标志H或下标16以示区别。

　　例如：十六进制数4AC8可写成（4AC8）16，或写成4AC8H。

 

数的位权概念

　　对于形式化的进制表示，我们可以从0开始，对数字的各个数位进行编号，即个位起往左依次为编号0，1，2，……；对称的，从小数点后的数位则是-1，-2，……

　　进行进制转换时，我们不妨设源进制（转换前所用进制）的基为R1，目标进制（转换后所用进制）的基为R2，原数值的表示按数位为AnA(n-1)……A2A1A0.A-1A-2……，R1在R2中的表示为R，则有(AnA(n-1)……A2A1A0.A-1A-2……)R1=(An*R^n+A(n-1)*R^(n-1)+……+A2*R^2+A1*R^1+A0*R^0+A-1*R^(-1)+A-2*R^(-2))R2

　　（由于此处不可选择字体，说明如下：An，A2，A-1等符号中，n，2，-1等均应改为下标，而上标的幂次均用^作为前缀）

　　举例：

　　一个十进制数110，其中百位上的1表示1个10^2，既100，十位的1表示1个10^1，即10，个位的0表示0个100，即0。

　　一个二进制数110，其中高位的1表示1个2^2，即4，低位的1表示1个2^1，即2，最低位的0表示0个2^0，即0。

　　一个十六进制数110，其中高位的1表示1个16^2，即256，低位的1表示1个16^1，即16，最低位的0表示0个16^0，即0。

　　可见，在数制中，各位数字所表示值的大小不仅与该数字本身的大小有关，还与该数字所在的位置有关，我们称这关系为数的位权。

　　十进制数的位权是以10为底的幂，二进制数的位权是以2为底的幂，十六进制数的位权是以16为底的幂。数位由高向低，以降幂的方式排列。

 

进数制之间的转换

　　1.二进制数、十六进制数转换为十进制数（按权求和）

　　二进制数、十六进制数转换为十进制数的规律是相同的。把二进制数（或十六进制数）按位权形式展开多项式和的形式，求其最后的和，就是其对应的十进制数——简称“按权求和”.

　　例如:把(1001.01)2转换为十进制数。

　　解：（1001.01）2

　　=1*8+4*0+2*0+1*1+0*(1/2)+1*(1/4)

　　=8+0+0+1+0+0.25

　　=9.25

　　把(38A.11)16转换为十进制数

　　解:(38A.11)16

　　=3×16的2次方+8×16的1次方+10×16的0次方+1×16的-1次方+1×16的-2次方

　　=768+128+10+0.0625+0.0039

　　=906.0664

　　2.十进制数转换为二进制数,十六进制数(除2/16取余法)

　　整数转换.一个十进制整数转换为二进制整数通常采用除二取余法,即用2连续除十进制数,直到商为0,逆序排列余数即可得到――简称除二取余法．

　　例：将25转换为二进制数

　　解:25÷2=12 余数1

　　12÷2=6 余数0

　　6÷2=3 余数0

　　3÷2=1 余数1

　　1÷2=0 余数1

　　所以25=(11001)2

　　同理,把十进制数转换为十六进制数时,将基数2转换成16就可以了.

　　例:将25转换为十六进制数

　　解:25÷16=1 余数9

　　1÷16=0 余数1

　　所以25=(19)16

　　3.二进制数与十六进制数之间的转换

　　由于4位二进制数恰好有16个组合状态,即1位十六进制数与4位二进制数是一一对应的.所以,十六进制数与二进制数的转换是十分简单的.

　　(1)十六进制数转换成二进制数,只要将每一位十六进制数用对应的4位二进制数替代即可――简称位分四位.

　　例:将(4AF8B)16转换为二进制数.

　　解: 4 A F 8 B

　　0100 1010 1111 1000 1011

　　所以(4AF8B)16=(1001010111110001011)2

　　(2)二进制数转换为十六进制数,分别向左,向右每四位一组,依次写出每组4位二进制数所对应的十六进制数――简称四位合一位.

　　例:将二进制数(000111010110)2转换为十六进制数.

　　解: 0001 1101 0110

　　1 D 6

　　所以(111010110)2=（1D6）16

　　转换时注意最后一组不足4位时必须加0补齐4位

 

数制转换的一般化

　　1）R进制转换成十进制

　　任意R进制数据按权展开、相加即可得十进制数据。 例如：N = 1101.0101B = 1*2^3+1*2^2+0*21+1*2^0+0*2^-1+1*2^-2+0*2^-3+1*2^-4 = 8+4+0+1+0+0.25+0+0.0625 = 13.3125

　　N = 5A.8 H = 5*161+A*160+8*16-1 = 80+10+0.5 = 90.5

　　2）十进制转换R 进制

　　十进制数转换成R 进制数,须将整数部分和小数部分分别转换.

　　1.整数转换----除R 取余法 规则：（1）用R 去除给出的十进制数的整数部分，取其余数作为转换后的R 进制数据的整数部分最低位数字； （2）再用2去除所得的商，取其余数作为转换后的R 进制数据的高一位数字； （3）重复执行（2）操作，一直到商为0结束。 例如： 115 转换成 Binary数据和Hexadecimal数据 （图2-4） 所以 115 = 1110011 B = 73 H

　　2．小数转换-----乘R 取整法 规则：（1）用R 去除给出的十进制数的小数部分，取乘积的整数部分作为转换后R 进制小数点后第一位数字； （2）再用R 去乘上一步乘积的小数部分，然后取新乘积的整数部分作为转换后R 进制小数的低一位数字； （3）重复（2）操作，一直到乘积为0，或已得到要求精度数位为止。