小波分析的概念 - DSP在仪器和测量技术中的应用

　　现在简单介绍小波分析的概念。

　　设给定连续信号f(t)。考虑到实际信号的分辨率总是有限的，从而可以将f(t)表示为以下阶梯函数

 

　　式中n为整数，表示采样点，Cn0=f(n)为样本值，而

 

　　为其基函数或尺度函数。这时，若将采样间隔加倍，则样点数减半，而信号表示为

 

　　这样一来，信号的数据量压缩了一半。这就是所谓二分法。考察二分前后两个信号的偏差就是一个小波函数.

　　有人解释，“小波”就是小的波形。而“小”指它具有衰减性，“波”则是指波动性，即其振幅呈正负相同的振荡形式。

　　小波函数ψ(t)能通过平移和伸缩生成L2(R)中的一组正交基：

　　{(ψ(2-kt-n)，k，n为整数}

　　从而可以将给定信号f(t)进行分解：

 

　　通常，ψ(t)又称小波基函数。小波基函数可以有不同式，前述哈尔函数就是一种常用的基函数。当然，能够作为小波基函数的，也还是它必须能展开成一组完备正交的函数系。

　　小波分析的发展非常迅速。虽然最早可以追溯到1900年希尔伯特(Hilbert)的论述，和1910年哈尔提出的规范正交基，但实际的主要工作还应该是1984年法国的Morlet在分析地震波的局部性质时，因傅立叶变换难以达到要求，因而引人小波概念。以后，Grossman对Morlet的信号按一个确定函数的伸缩、平移系进行了研究，为小波分析的形成开了先河。

　　在诸多为小波分析作出巨大贡献的科学工作者之中，1987年Maliat发表的Mallat算法无疑对推动小波分析的发展起了非常重要的作用。自然，在小波分析的发展中，我国许多科技工作者也作出了大的贡献。

　　和前述其它分析变换一样，小波变换也有连续和离散两种形式。但由于小波函数通常都是短形脉冲波，因而离散处理相对比较容易，从而有时人们忽略了其差别。

　　小波变换除了适应于处理突变(或时变)的非平稳信号外，还具有一个非常有用的特性，即多分辨率特性。所谓多分辨率即在小波分析中，由于所采用的尺度函数不同，可以很容易地得到不同分辨率的结果。这在图像信号的处理中已得到实际的应用。

　　小波分析发展到现在，已经取得许多成熟的成果，包括一批通用的算法、软件以及固化的器件。例如AD公司推出的ADV611芯片，作为视频图像的编/解码和压缩，内含小波滤波器，可以达到7500：1的压缩比，图像质量良好。在仪器和测量的应用中，也有许多成果，如有人把它用在X-射线谱信号的分析中，经过小波变换处理的谱线信号，质量得到大幅度的提高。可以预计，这种技术还将进一步发展，得到更广泛的应用。

　　结束语

　　以上本文简单介绍了当前常见的信号处理特别是数字信号处理技术。但是，它们基本上都只适于对确定性信号进行处理。在信号处理技术中还有一大类，称为随机信号处理或统计信号处理。这一类处理技术最广泛地用于和噪声及信号污操作斗争，也有人称为信号估计或信号复原，最具代表性的两种技术就是维纳(Weiner)滤波和卡尔曼(Kalmark)滤波.前者又称为最小二乘方滤波，后者从自噪声中恢复信号十分有效。其实它们都是很早就已经提出，但只是在现代计算机和数字技术的发展下，才得到真正实际的应用。因此我们最后简单地提及，作为本文的结束。