把除法转换为乘法 - ARM中用乘法代替除法的优化

3 把除法转换为乘法

　　在程序中，同一个除数的除法经常会出现很多次。在前面的例子中，bytes_per_line的值在整个程序中都是固定不变的。又如3到2笛卡尔坐标变换，其中就使用了同一个除数两次：

　　(x，Y，x)→(x/z，y/z)

　　这种情况下，使用cache指令中的值1/z，并使用1/z的乘法来代替除法运算，效率会更高。另外，要尽可能使用int类型的运算，避免使用浮点运算。

　　下面将更加偏重于从数学和理论的角度分析，把重复除法转换成乘法运算。

　　下面来区分精确数学意义上的除法和整型除法运算：

　　n/d，即整数n被分成整数d份，结果趋向于O(与C语言相同);

　　n%d，即n被d除之后的余数，就是n--d(n/d);

　　n/d=n·d-1，即真正数学意义上的n被d除。

　　当使用整型除法时，最容易估算d-1值的方法是计算232/d。然后，就可以估算n/d为：

　　(n(232/d))/232 (1)

　　在执行n的乘法时，需要精确到64位。对于这种方法，会出现如下问题：

　　为了计算232/d，由于一个unsigned int类型的数据放不下232，编译器要使用64位long long类型的数，而且必须指定除法为(1 ull<<32)/d。这种64位的除法比32位的除法执行起来要慢得多。

　　如果d碰巧是1，那么232/d就不再适合于un—signed int数据类型。

　　上面的做法似乎很好，而且解决了这两个问题。那么，再来看一下用(232一1)/d代替232/d。 令

　　s=0xffffffff ul/d (2)

　　

 

　　以上n/d-2，q，n/d+1为整数值，所以可得q=n/d或q=(n/d)一1，即初步估计的结果q与正确值n/d有可能存在偏差1。可以发现，通过计算余数r=n—q·d(O≤r<2d)是比较容易的。下面的代码纠正了这个结果：

　　r=n--q*d;/*初步估计结果余数r的范围为O≤r<2d*/

　　if(r>=d){/*若需要校正*/

　　r-=d;/*校正r，使O≤r

　　n++;/*相应商加1进行校正*/

　　} /*得正确结果q=n/d和r=n%d*/

　　下面给出一个实例，用上面的算法完成了N个元素的数组被d除。首先，计算上面所说的s值，然后用乘以5来代替每个被d除的除法。64位的乘是很容易实现的，因为ARM中有一条指令UMULL，可以进行2个32位数相乘，给出一个64位的结果。

　　void scale(

　　unsigned int*dest; /*目的数据*/

　　unsigned int*src; /*源数据*/

　　unsignedInt d; /*分母d*/

　　urlslglaedInt N;) /*数据长度*/

　　{

　　unsigned int s=0xFFFFFFFFu/d;

　　do{

　　unsigned int n，q，r;

　　n=*(src++);

　　q=(urtslgrted int)(((unsined tong long)n*s)>>32);

　　r=n*d;

　　if(r>=d){ /*若需要对商进行校正*/

　　q++;

　　}

　　*(dest++)=q;

　　}while(--N);

　　}

　　这里假定除数和被除数都是32位的无符号整数。当然，使用32位乘法进行16位的无符号数计算，或者使用1 28位乘法进行64位数计算，运算规则是一样的。可以为特定的数据选择最窄的运算宽度。如果数据是16位的，那么就设置s=(216一1)/d，然后用标准的整型乘法来求值q。

　　4 结论

　　如果不能避免除法运算，那么应尽可能使用除法程序同时产生商n/d和余数n%d的好处。对于重复对一除数d的除法.预先计算好s=(2k一1)/d，用乘以s的2k位乘法来代替除以d的k位无符号整数除法，可大大减少由于直接使用除法操作引入的指令周期数。