- 基于FPGA的嵌入式处理器的浮点系统

很明显，如果 b^2 和 4ac 是浮点数，就会遇到舍入误差问题。如果 b^2 远大于 4ac，则 √(b^2 ) =|b|。如果b>0，β 将有解，但 α 的解将为 0，因为其分子中的各项相互抵消。另一方面，如果 b < 0，则 β 的解为 0，α 将有解。这是一种错误的设计，因为在浮点计算的作用下，根的值为 0，如果用于后续的设计，将很容易导致错误的输出。

防止这种错误抵消的方法之一是将 α 和 β 的分子和分母同时乘以 -b-√(b^2-4ac)，这样得到：

现在，在 b>0 的情况下，应使用 α’ 和 β 求出两个根的值。在 b<0 的情况下，应使用 α 和 β’ 求出两个根的值。在设计中很难察觉到这样的误差，原因在于对于整数数据集来说，常规公式会得出正确的结果，但在使用浮点数据的时候，常规公式会让设计返回错误的结果。

另一个有趣的实例是计算三角形面积。根据 Heron 公式，在已知三角形边长的情况下，三角形的面积 A 可以用下面的公式求出：

这里 a，b 和 c 是三角形的边长，s= (a+b+c)/2。

对一个一边的长度约等于另外两边长度之和的平三角形而言，有 a≈b+c，随即有 s≈a。由于两个相邻的数值会在 (s-a) 中相减，所以 (s-a) 可能会等于 0。或者，如果 s或者 a 出现舍入误差，就会导致显著的 ulps 误差。因此，最好根据数学家和计算机科学家 William Kahan (2)在 1986 年率先提出的建议，将此公式改写为下列格式：

我们看看分别用 Heron 的公式和 Kahan 的公式对相同的数值进行计算的结果如何。假定 a=11.0，b=9.0，c=2.04，则正确的 s 值为 11.02，正确的 A 值为1.9994918。但是，在采用 Heron 公式的情况下，计算得出的 s 值为 11.05，只有 3ulps 的误差，A 的值为3.1945189，出现巨大的 ulps 误差。在采用 Kahan 的公式的情况下，得出的 A 值为 1.9994918，小数点后七位完全与正确的结果吻合。

处理极小和极大的浮点数
极小的浮点数在相乘后会得出更小的结果。对设计人员来说，这可能会导致系统的下溢问题，最终的结果可能出错。这个问题在概率处理领域中尤为突出，比如计算语言学和机器学习。任何事件的概率一般都在 0 和 1 之间。能够得到完美整数结果的公式在处理非常小的概率时往往会导致下溢问题。避免下溢的方法之一是采用指数和对数。

在对很小的浮点数做相乘运算时，采用下面的公式非常有效：

这里指数和对数的底数必须相同。不过需要注意的是，如果a 和 b 都是概率，值都在 0和 1 之间，那么它们的对数会在-∞ 和 0 之间。如果只希望处理正概率，则将概率的对数乘以 -1，就可以正确地解读结果。采用对数值的另一项优势在于速度，因为相加比相乘的操作速度更快。

工程人员往往会遇到需要对非常大的连续数进行相乘的情况，比如：

K 的值在某些情况下非常容易溢出。处理这种情况的方法之一是用下式计算 k：

当然，这样计算相对较为复杂一点，但如果想要保证设计在计算这种极端状况时不会出错，这点代价还是值得的。

一些常见的浮点微妙之处
浮点算术并不严格遵循整数的数学规律。加法和乘法结合律对浮点数无效，减法和除法也是如此。造成这种情况的原因有两个。首先在顺序变动时会出现下溢或者上溢，其次是舍入误差问题。请看下面关于浮点数 a，b 和 c的几个例子。