EMC电路设计的数学公式和电磁理论介绍

EMC是可以藉由数学公式来理解的。不过，纵使有数学分析方法可以利用，但那些数学方程式对实际的EMC电路设计而言，仍然太过复杂了。幸运的是，在大多数的实务工作中，工程师并不需要完全理解那些复杂的数学公式和存在于EMC规范中的学理依据，只要藉由简单的数学模型，就能够明白要如何达到EMC的要求。

本文藉由简单的数学公式和电磁理论，来说明在印刷电路板上被动组件（passive component）的隐藏行为和特性，这些都是工程师想让所设计的电子产品通过EMC标准时，事先所必须具备的基本知识。

 

导线和走线

导线（wire）、走线（trace）、固定架等看似不起眼的组件，却经常成为射频能量的最佳发射器（亦即，EMI的来源）。每一种组件都具有电感，这包含硅芯片的焊线（bond wire）、以及电阻、电容、电感的接脚。每根导线或走线都包含有隐藏的寄生电容和电感。这些寄生性组件会影响导线的阻抗大小，而且对频率很敏感。依据LC的值（决定自共振频率）和走线的长度，在某组件和走线之间，可以产生自共振（self-resonance），因此，形成一根有效率的辐射天线。

在低频时，导线大致上只具有电阻的特性。但在高频时，导线就具有电感的特性。因为变成高频后，会造成阻抗大小的变化，进而改变导线或走线与接地之间的EMC设计，这时必需使用接地面（ground plane）和接地网格（ground grid）。

导线和走线的最主要差别只在于，导线是圆形的，走线是长方形的。导线或走线的阻抗包含电阻R和感抗XL = 2πfL，在高频时，此阻抗定义为Z = R + j XL j2πfL，没有容抗Xc = 1/2πfC存在。频率高于100 kHz以上时，感抗大于电阻，此时导线或走线不再是低电阻的连接线，而是电感。一般而言，在音频以上工作的导线或走线应该视为电感，不能再看成电阻，而且可以是射频天线。

大多数天线的长度是等于某一特定频率的1/4或1/2波长（λ）。因此在EMC的规范中，不容许导线或走线在某一特定频率的λ/20以下工作，因为这会使它突然地变成一根高效能的天线。电感和电容会造成电路的谐振，此现象是不会在它们的规格书中记载的。

例如：假设有一根10公分的走线，R = 57 mΩ，8 nH/cm，所以电感值总共是80 nH。在100 kHz时，可以得到感抗50 mΩ。当频率超过100 kHz以上时，此走线将变成电感，它的电阻值可以忽略不计。因此，此10公分的走线将在频率超过150 MHz时，将形成一根有效率的辐射天线。因为在150 MHz时，其波长λ= 2公尺，所以λ/20 = 10公分 = 走线的长度；若频率大于150 MHz，其波长λ将变小，其1/4λ或1/2λ值将接近于走线的长度（10公分），于是逐渐形成一根完美的天线。

电阻

电阻是在上最常见到的组件。电阻的材质（碳合成、碳膜、云母、绕线型…等）限制了频率响应的作用和EMC的效果。绕线型电阻并不适合于高频应用，因为在导线内存在着过多的电感。碳膜电阻虽然包含有电感，但有时适合于高频应用，因为它的接脚之电感值并不大。

一般人常忽略的是，电阻的封装大小和寄生电容。寄生电容存在于电阻的两个终端之间，它们在极高频时，会对正常的电路特性造成破坏，尤其是频率达到GHz时。不过，对大多数的应用电路而言，在电阻接脚之间的寄生电容不会比接脚电感来得重要。

当电阻承受超高电压极限（overvoltage stress）考验时，必须注意电阻的变化。如果在电阻上发生了「静电释放（ESD）」现象，则会发生有趣的事。如果电阻是表面黏着（surface mount）组件，此电阻很可能会被电弧打穿。如果电阻具有接脚，ESD会发现此电阻的高电阻（和高电感）路径，并避免进入被此电阻所保护的电路。其实，真正的保护者是此电阻所隐藏的电感和电容特性。

电容

电容一般是应用在电源总线（power bus），提供去耦合（decouple）、旁路（bypass）、和维持固定的直流电压和电流（bulk）之功能。真正单纯的电容会维持它的电容值，直到达到自共振频率。超过此自共振频率，电容特性会变成像电感一样。这可以由公式：Xc=1/2πfC来说明，Xc是容抗（单位是Ω）。例如：10μf的电解电容，在10 kHz时，容抗是1.6Ω；在100 MHz时，降到160μΩ。因此在100 MHz时，存在着短路（short circuit）效应，这对EMC而言是很理想的。但是，电解电容的电气参数：等效串联电感（equivalent series inductance；ESL）和等效串联电阻（equivalent series esistance；ESR），将会限制此电容只能在频率1 MHz以下工作。

电容的使用也和接脚电感与体积结构有关，这些因素决定了寄生电感的数目和大小。寄生电感存在于电容的焊线之间，它们使电容在超过自共振频率以上时，产生和电感一样的行为，电容因此失去了原先设定的功能。

电感

电感是用来控制内的EMI。对电感而言，它的感抗是和频率成正比的。这可以由公式：XL = 2πfL来说明，XL是感抗（单位是Ω）。例如：一个理想的10 mH电感，在10 kHz时，感抗是628Ω；在100 MHz时，增加到6.2 MΩ。因此在100 MHz时，此电感可以视为开路（open circuit）。在100 MHz时，若让一个讯号通过此电感，将会造成此讯号质量的下降（这是从时域来观察）。和电容一样，此电感的电气参数（线圈之间的寄生电容）限制了此电感只能在频率1 MHz以下工作。

问题是，在高频时，若不能使用电感，那要使用什么呢？答案是，应该使用「铁粉珠（ferrite bead）」。铁粉材料是铁镁或铁镍合金，这些材 料具有高的导磁系数（permeability），在高频和高阻抗下，电感内线圈之间的电容值会最小。铁粉珠通常只适用于高频电路，因为在低频时，它们基本上是保有电感的完整特性（包含有电阻和抗性分量），因此会造成线路上的些微损失。在高频时，它基本上只具有抗性分量（jωL），并且抗性分量会随着频率上升而增加，如附图一所示。实际上，铁粉珠是射频能量的高频衰减器。

其实，可以将铁粉珠视为一个电阻并联一个电感。在低频时，电阻被电感「短路」，电流流往电感；在高频时，电感的高感抗迫使电流流向电阻。

本质上，铁粉珠是一种「耗散装置（dissipative device）」，它会将高频能量转换成热能。因此，在效能上，它只能被当成电阻来解释，而不是电感。

变压器

变压器通常存在于电源供应器中，此外，它可以用来对数据讯号、I/O连结、供电接口做绝缘。根据变压器种类和应用的不同，在一次侧（primary）和二次侧（secondary）线圈之间，可能有屏蔽物（shield）存在。此屏蔽物连接到一个接地的参考源，是用来防止此两组线圈之间的电容耦合。

变压器也广泛地用来提供共模（common mode；CM）绝缘。这些装置根据通过其输入端的差模（differential mode；DM）讯号，来将一次侧线圈和二次侧线圈产生磁性连结，以传递能量。其结果是，通过一次侧线圈的CM电压会被排拒，因此达到共模绝缘的目的。不过，在制造变压器时，在一次侧和二次侧线圈之间，会有讯号源电容存在。当电路频率增加时，电容耦合能力也会增强，因此破坏了电路的绝缘效果。若有足够的寄生电容存在的话，高频的射频能量（来自快速瞬变、ESD、雷击……等）可能会通过变压器，导致在绝缘层另一端的电路，也会接收到此瞬间变化的高电压或高电流。

上面已经针对各种被动组件的隐藏特性做了详尽的说明，底下将解释为何这些隐藏特性会在中造成EMI。

浅谈电磁理论

上述的被动组件具有隐藏特性，而且会在中产生射频能量，但为何会如此呢？为了了解其原由，必须明白Maxwell方程式。Maxwell的四个方程式说明了电场和磁场之间的关系，而且它们是从Ampere定律、Faraday定律、和Gauss定律推论而来的。这些方程式描述了在一个闭回路环境中，电磁场强度和电流密度的特性，而且需要使用高等微积分来计算。因为Maxwell方程式非常的复杂，在此仅做简要的说明。其实，布线工程师并不需要完全了解Maxwell方程式的详细知识，只要了解其中的重点，就能完成EMC设计。完整的Maxwell方程式条列如下：

第一定律：电通量（electric flux）（来自Gauss定律）

第二定律：磁通量（magnetic flux）（来自Gauss定律）

第三定律：电位（electric potential）（来自Faraday定律）

第四定律：电流（electric current）（来自Ampere定律）

在上述的方程式中，J、E、B、H是向量。此外，与Maxwell方程式相关的基本物理观念有：

●Maxwell方程式说明了电荷、电流、磁场和电场之间的交互作用。

●可用「Lorentz力」来形容电场和磁场施加在带电粒子上的物理作用力。

●所有物质对其它物质都具有一种组成关系。这包含：

1. 导电率（conductivity）：电流与电场的关系（物质的奥姆定律）：J=σE。

2. 导磁系数：磁通量和磁场的关系：B=μH。

3. 介电常数（dielectric constant）：电荷储存和一个电场的关系：D=εE。

J = 传导电流密度，A/m2

σ= 物质的导电率

E = 电场强度，V/m

D = 电通量密度，coulombs/ m2

ε= 真空电容率（permittivity），8.85 pF/m

B = 磁通量密度，Weber/ m2或Tesla

H = 磁场，A/m

μ= 媒材的导磁系数，H/m

依据Gauss定律，Maxwell的第一方程式也称作「分离定理（divergence theorem）」。它可以用来说明由于电荷的累积，所产生的静电场（electrostatic field）E。这种现象，最好在两个边界之间做观察：导电的和不导电的。根据Gauss定律，在边界条件下的行为，会产生导电的围笼（也称作Faraday cage），充当成一个静电的屏蔽。在一个被Faraday箱包围的封闭区域，其外部四周的电磁波是无法进入此区域的。若在Faraday箱内有一个电场存在，则在其边界处，此电场所产生的电荷是集中在边界内侧的。在边界外侧的电荷会被内部电场排拒在外。

Maxwell的第二方程式表示，在自然界没有磁荷（magnetic charge）存在，只有电荷存在，也就是说没有单一磁极（magnetic monopole）存在。虽然，目前的统一场理论（Grand Unified Theory）预测有很少的磁荷存在，但迄今都无法从实验中证明。这些电荷是带正电的或负电的。磁场是透过电流和电场的作用产生的。由于电流和电场的发射，使它们成为辐射能量的来源点。磁场在电流四周形成一个封闭的循环，而磁场是由电流产生的。

Maxwell的第三方程式也称作「感应的Faraday定律」，说明当磁场环绕着一个封闭的电路时，此磁场会使此封闭电路产生电流。第三方程式和第四方程式是相伴的。第三方程式表示变动的磁场会产生电场。磁场通常存在于变压器或线圈，例如：马达、发电机…等。第三和第四方程式的交互作用，正是EMC的主要焦点。两者一起来说，它们说明了耦合的电场和磁场是如何以光速辐射或传播。这个方程式也说明了「集肤效应（skin effect）」的概念，它可以预测「磁屏蔽（magnetic shielding）」的有效性。此外，它也说明了电感的特性，而电感允许天线能合理地存在。

Maxwell的第四方程式也称作Ampere定律。此方程式说明了产生磁场的两个来源。第一个来源是，电流以传输电荷的形式在流动。第二个来源是，当变动的电场环绕着一个封闭的电路时，会产生磁场。这些电和磁的来源，说明了电感和电磁的作用。在此方程式中，J就代表以电流产生磁场的分量；就是以电场产生磁场的分量。

综合而言，Maxwell方程式可以说明在中，EMI是如何产生的。是一个会随时间改变电流大小的环境，而这些微积分方程式正是要对发生EMI的根源做解析。静电荷分布会产生静电场，而不是磁场。固定电流会同时产生静磁场和静电场。时变（time-varying）电流会同时产生电场和磁场。

静电场会储存能量，这是电容的基本功能：累积和保有电荷。固定的电流源是电感的基本功能和概念。

电和磁的来源

前面已经提到，变动中的电流会产生磁场，静电荷分布会产生电场，下面将进一步讨论电流和辐射电场之间的关系。我们必须检视电流源的结构，并观察它是如何影响辐射讯号的。此外，我们也必须要注意，当距离电流源越远时，讯号强度会越低。

时变电流存在于两种结构中：1.磁的来源（是封闭回路），2.电的来源（是双极天线）。首先探讨磁的来源。

一个电路包含有一个频率源（振荡器）和一个负载。我们可以看到有一个回传电流（return current），在此电路沿着封闭回路流动着。这个封闭回路是由走线和射频电流的回传路径组成的。我们可以利用仿真软件，来建立此讯号走线的模型，并评估此模型所产生的辐射电场。此回路所产生的电场是下面四个变量的函数。

1.回路中的电流振幅：电场大小和存在于讯号走线的电流大小成正比。

2.回路的极性和测量装置的关系：如果测量装置的天线也是呈回路状（loop），回路电流的极性必须和测量装置的天线之极性相同，如此才能测量到正确的回路电流。例如：如果测量装置是使用双极（dipole）天线，则回路电流的极性必须和它一样，两者的极性都必须是垂直的（vertical polarization）。

3.回路的大小：如果回路非常的小（比回路讯号或工作频率的波长小很多），则电磁场的强度将和回路面积成正比。如果回路越大，在天线端所测量到的频率就越低。对特定的回路面积而言，此天线会在特定的频率下共振。

4.距离：电磁场强度下降的比率，是决定于来源端和天线之间的距离。此外，此距离也决定所产生的是电场或者是磁场。当距离比较短时，磁场强度和距离的平方成反比。当距离比较长时，会出现一个电磁平面波（plane wave）。此平面波强度和距离成正比。在平面波上，电场向量和磁场向量相交点的位置，大约在1/6波长的地方（也可使用λ/2π来表示，波长（λ）= 300/f）。1/6波长和EMI的「点源（point source）」相关，「点源」是指电磁波发射的起源。接收端天线越大，1/6波长的值可以越大。

总结

和大多数的电子工程设计一样，EMC设计是需要细心的思虑的。阅读本文时，读者应该同时参照平时所执行的EMC实务工作，如此就可能会发现许多过去未曾注意到的地方，而这些地方往往就是EMI最容易发生的处所。

在强调产品迅速上市的时代里，工程师所承受的压力与日俱增。使用良好的EMI模拟工具虽然可以协助我们快速地达成任务；但若过度依赖这些工具，恐怕会在一些非常特殊的情况或环境下，无法举一反三。所以，拥有深厚的理论基础，将可以弥补常态的实务工作之不足。
来源；21ic