基于Matlab的FIR型希尔伯特变换器设计

 

　　在传统的设计中，希尔伯特变换器可由一个FIR滤波器和一个时延模块实现，也可由一组滤波器对实现，而实现FIR型希尔伯特变换器的一个简单方法就是对原型低通滤波器作正弦/余弦变换。但是，无论哪种方法都需要通过计算对低通滤波器的系数进行转换，其计算繁琐且存在一定的误差。Matlab作为滤波器设计的基础软件，不仅可以快速有效地实现希尔伯特变换器的设计、分析仿真和最优化，而且可以直接计算出希尔伯特变换器的系数，加之Matlab具有强大的接口功能，为后续的设计提供了方便。

　　1 希尔伯特变换器的基本原理

　　连续时间信号x(t)的希尔伯特变换

　　

 

　　定义为：

　　

 

　　由式(1)可得单位冲击响应h(t)=1/(πt)，由于jh(t)=j/(πt)的傅里叶变换是符号函数sgn(w)，所以希尔伯特变换器的频率特性为：

　　

 

　　信号x(t)的希尔伯特变换可以看成是信号x(t)通过一个幅度为1的全通滤波器输出，信号通过希尔伯特变换器后，其负频率成分作+90°的相移，而正频率成分作-90°的相移。

　　这类滤波器要求滤波器的零频响应为0，若滤波器阶数为偶数，则还要求Nyquist频率(归一化频率为1)处的响应为0。即如果滤波器的阶数为偶数，那么增益在频率为0 Hz和fs/2处必须降为零，希尔伯特滤波器必须是一个带通滤波器。如果滤波器的阶数为奇数，那么增益在频率为0 Hz处必须降为零，希尔伯特滤波器必须是一个高通滤波器。