函数的可视化与Matlab作

函数的可视化与Matlab作
2.1 实验与观察：函数的可视化
2.1.1 Matlab二维绘图命令
1.周期函数与线性p－周期函数
       ◆   观察  ：
   【    clf, x=linspace(0,8*pi,100);
F=inline('sin(x+cos(x+sin(x)))');
y1=sin(x+cos(x+sin(x)));   y2=0.2*x+sin(x+cos(x+sin(x)));
plot(x,y1,'k:',x,y2,'k-')  legend('sin(x+cos(x+sin(x))','0.2x+sin(x+cos(x+sin(x)))',2) 】

 2. plot指令：绘制直角坐标的二维曲线
3. 图形的属性设置和屏幕控制
        【     h=plot([0:0.1:2*pi],sin([0:0.1:2*pi])); grid on
 set(h,'LineWidth',5,'color','red'); set(gca,'GridLineStyle','-','fontsize',16)  】
   
      ◆设置y坐标的刻度并加以说明，并改变字体的大小。
【     h=plot([0:0.1:2*pi],sin([0:0.1:2*pi]));grid on，
 set(gca,'ytick',[-1 -0.5 0 0.5 1]),  set(gca,'yticklabel','a|b|c|d|e'),
 set(gca,'fontsize',20)               】
4. 文字标注指令
         【     plot(x,y1,'b',x,y2,'k-') ,
              set(gca,'fontsize',15,'fontname','times New Roman'),  %设置轴对象的字体为times
                            % New Roman，字体的大小为15
  title(' \it{Peroid and linear peroid function}');      %加标题，注意文字用单引号' ' 加上             
            %斜杠'\'后可输入不同的设置，例如it{…}表示花括号里的文字为斜体；如果有多项设置，
             %则可用\…\…\…连续输入。
  xlabel('x from 0 to 8*pi it{t}\'); ylabel('\it{y}');       %说明坐标轴
        text(x(49),y1(50)-0.4,'\fontsize{15}\bullet\leftarrowThe period function {\itf(x)}');       
         %在坐标(x(49),y1(50)-0.4）处作文字说明， 各项设置用""隔开。
                      %\fontsize{15}\bullet\leftarrow的意义依次是：\字体大小=15 \ 画圆点 \左箭头
 text(x(14),y2(50)+1,'\fontsize{15}The linear period  function {\itg(x)}\rightarrow
\bullet')         %与上一语句类似，用右箭头                    】
 

图2.5   文字标注
          ◆观察指令legend和num2str的用法：在同一张图上画出 ， 这里 , 并进行适当的标注。
  zxy2_2.m
 【     clf, t=0:0.1:3*pi;alpha=0:0.1:3*pi;
  plot(t,sin(t),'r-');hold on;  plot(alpha,3*exp(-0.5*alpha),'k:');
  set(gca,'fontsize',15,'fontname','times New Roman'),    
  xlabel('\it{t(deg)}');ylabel('\it{magnitude}');
title(' \it{sine wave and {\it{Ae}}^{-\alpha{\itt}}wave}');  %注意\alpha的意义
text(6,sin(6),'\fontsize{15}The Value \it{sin(t)} at {\itt}=6\rightarrow\bullet', 'HorizontalAlignment','right'),
   %上面的语句是一整行，如果要写成两行，必须使用续行号 … ，例如要在“ bullet',”
    %后换行，需写“bullet', …”后才能换行。
    % 'HorizontalAlignment','right' 表示箭头所指的曲线对象在 文字的右边。
text(2,3*exp(-0.5*2),['\fontsize{15}\bullet\leftarrow The Value of \it{3e}^{-0.5 \it{t}}=',num2str(3*exp(-0.5*2)),' at \it{t} =2 ']);
         %num2str的用法：['string1' ,num2str,'string2']，注意方括号的使用。
%legend('\itsin(t)','{\itAe}^{-\alphat}')   % 请结合图形观察此命令的使用         】
          运行结果如图2.6所示。

         
5. 图形窗口的创建和分割
         ◆观察：
【    clf，b=2*pi;x=linspace(0,b,50);
for k =1:9
    y=sin(k*x);
    subplot(3,3,k),plot(x,y),axis([0,2*pi,-1,1])
end                      】

2.1.2多元函数的可视化与空间解析几何（三维图形）
        本节通过高等数学的几个例子观察Matlab的三维绘图功能和技巧。
1. 绘制二元函数
          ◆观察：绘制  的图象，作定义域的裁剪。
         ◆（1）观察meshgrid指令的效果。
【  a=-0.98;b=0.98;c=-1;d=1;n=10;
x=linspace(a,b,n); y=linspace(c,d,n);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
plot(X,Y,'+')  】
          ★三维绘图指令mesh、meshc、surf。
           ◆（2）做函数的定义域裁剪，观察上述三维绘图指令的效果。
程序zxy2_4.m
【    clear,clf,
a=-1;b=1;c=-15;d=15;n=20;eps1=0.01;
x=linspace(a,b,n);y=linspace(c,d,n);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
for i=1:n                                 %计算函数值z ，并作定义域裁剪
   for j=1:n
     if (1-X(i,j))<eps1|X(i,j)-Y(i,j)<eps1    %if语句这样用
        z(i,j)=NaN;                              %作定义域裁剪，定义域以外的函数值为NaN
     else
        z(i,j)=1000*sqrt(1-X(i,j))^-1.*log(X(i,j)-Y(i,j)); 
     end
   end
end                 
    zz=-20*ones(1,n);plot3(x,x,zz),grid off,hold on        %画定义域的边界线
mesh(X,Y,z)                     %绘图，读者可用meshz,  surf,  meshc在此替换之                                                                                                                   
xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z'),   box on      %把三维图形封闭在箱体里  】
         ◆运行了zxy2_4.m 以后，有关向量存储在工作空间中，在此基础上，观察上述等值线绘制指令的运行效果。
 【   [cs,h]=contour(X,Y,z,15);  clabel(cs,h,'labelspacing',244)          】

2. 三元函数可视化: slice指令
       ◆  观察： 绘制三元函数 的可视化图形。
【     clf,x=linspace(-2,2,40); y=x; z=x;
        [X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z); w=X.^2+Y.^2+Z.^2;
slice(X,Y,Z,w,[-1,0,1],[-1,0,1],[-1,0,1]),colorbar              】
3. 空间曲线及其运动方向的表现：plot3和quiver指令
【    clf,  t=0:0.1:1.5;
Vx=2*t;Vy=2*t.^2;Vz=6*t.^3-t.^2;
x=t.^2;y=(2/3)*t.^3;z=(6/4)*t.^4-(1/3)*t.^3;  %由速度得到曲线
plot3(x,y,z,'r.-'),hold on                               %画飞行轨迹
 %算数值梯度，也就是重新计算数值速度矢量，这只是为了编程的方便，不是必须的
 
图2.12 飞机的飞行轨迹与方向
Vx=gradient(x);Vy=gradient(y);Vz=gradient(z);
quiver3(x,y,z,Vx,Vy,Vz),grid on        %画速度矢量图
xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')      】
2.2应用、思考和练习
2.2.1  线性p周期函数
zxy2_3_f.m
【  function f=zxy2_3_f(x)
     f=sin(x+cos(x));               】
zxy2_3.m
【   clear，clf
a=-8;b=12;n=300;xx=linspace(a,b,n);
h=zxy2_3_f(xx);
S(1)=0;
for i=2:n
  S(i)=S(i-1)+quad('zxy2_3_f',xx(i-1),xx(i));
end
subplot(1,2,1),plot(xx,S,'k-'),axis([a,b,-1.5,9])
subplot(1,2,2),plot(xx,[h;zeros(1,length(xx))],'k-'),axis([a,b,-1.5,1.5])   】
2.2.2 平面截割法和曲面交线的绘制
◆用平行截面法讨论由曲面     构成的马鞍面形状。
       
 zxy2_6.m （ 平行截割法示例 ， 本程序的绘制两曲面交线方法可以套用） 
【  clf, a=-20;eps0=1;
[x,y]=meshgrid(-10:0.2:10);  %生成平面网格
v=[-10 10 -10 10 -100 100];  %设定空间坐标系的范围
colormap(gray)               %将当前的颜色设置为灰色
z1=(x.^2-2*y.^2)+eps;     %计算马鞍面函数z1=z1(x,y)
z2=a*ones(size(x));          %计算平面 z2=z2(x,y)
r0=abs(z1-z2)<=eps0;
 %计算一个和z1同维的函数r0,当abs(z1-z2)<=eps时r0 =1；当abs(z1-z2)>eps0时，r0 =0。
 %可用mesh(x,y,r0)语句观察它的图形，体会它的作用，该方法可以套用。
zz=r0.*z2;xx=r0.*x;yy=r0.*y; %计算截割的双曲线及其对应的坐标
subplot(2,2,2),     %在第2图形窗口绘制双曲线
   h1=plot3(xx(r0~=0),yy(r0~=0),zz(r0~=0),'+');          
   set(h1,'markersize',2),hold on,axis(v),grid on
subplot(2,2,1),     %在第一图形窗口绘制马鞍面和平面
   mesh(x,y,z1);grid,hold on;mesh(x,y,z2);           
   h2=plot3(xx(r0~=0),yy(r0~=0),zz(r0~=0),'.'); %画出二者的交线
   set(h2,'markersize',6),hold on,axis(v),
for i=1:5           %以下程序和上面是类似的，通过循环绘制一系列的平面去截割马鞍面
 a=70-i*30;      %在这里改变截割平面
 z2=a*ones(size(x)); r0=abs(z1-z2)<=1;  zz=r0.*z2;yy=r0.*y;xx=r0.*x;
 subplot(2,2,3),
    mesh(x,y,z1);grid,hold on;mesh(x,y,z2);hidden off
    h2=plot3(xx(r0~=0),yy(r0~=0),zz(r0~=0),'.'); axis(v),grid
 subplot(2,2,4),
    h4=plot3(xx(r0~=0),yy(r0~=0),zz(r0~=0),'o');
    set(h4,'markersize',2),hold on,axis(v),grid on
end               】
       
2.2.3 微分方程的斜率场
         
         ◆ 绘制微分方程  的斜率场，并将解曲线画在图中，观察斜率场和解曲线的关系。 
           zxy2_5.m   ( 绘制一阶微分方程的斜率场和解曲线)
【      clf,clear        %清除当前所有图形窗口的图像，清除当前工作空间的内存变量。
a=0;b=4;c=0;d=4;n=15;
[X,Y]=meshgrid(linspace(a,b,n),linspace(c,d,n));   %生成区域中的网格。
z=X.*Y;                                               %计算斜率函数。 
Fx=cos(atan(X.*Y));Fy=sqrt(1-Fx.^2);  %计算切线斜率矢量。
quiver(X,Y,Fx,Fy,0.5),hold on,axis([a,b,c,d])
   %在每一网格点画出相应的斜率矢量，0.5是控制矢量大小的控制参数，可以调整。
[x,y]=ode45('zxy2_5f',[0,4],0.4);    %求解微分方程。
      %zxy2_5f.m是方程相应函数f(x,y)的程序，单独编制；[x0,xs]=[0,4]为求解区间；
     %y0=0.4为初始值；输出变量x,y分别为解轨线自变量和因变量数组。
plot(x,y,'r.-')   %画解轨线  】
 zxy2_5f.m （微分方程的函数子程序）
【    function dy=zxy2_5f(x,y)
dy=x.*y;          】
       
2.2.4颜色控制和渲染及特殊绘图指令
1.地球表面的气温分布（sphere指令）
          ◆
 【 [a,b,c]=sphere(40);t=max(max(abs(c)))-abs(c);surf(a,b,c,t);
axis('equal'),colormap('hot'), shading flat,colorbar   】

2.旋转曲面的生成：柱面指令cylinder和光照控制指令surfl
         ◆
 【       x=0:0.1:10;z=x;y=1./(x.^3-2.*x+4);
   [u,v,w]=cylinder(y);surfl(u,v,w,[45,45]);
   shading interp    】
3.若干特殊图形
         ◆ 运行下面程序，了解各指令的用法和效果。
【    x=[1:10]; y=[5 6 3 4 8 1 10 3 5 6];
subplot(2,3,1),bar(x,y),axis([1 10 1 11])
subplot(2,3,2),hist(y,x),axis([1 10 1 4])
subplot(2,3,3),stem(x,y,'k'),axis([1 10 1 11])
subplot(2,3,4),stairs(x,y,'k'),  axis([1 10 1 11])
subplot(2,3,5), x = [1 3 0.5 5];explode = [0 0 0 1];pie(x,explode)
subplot(2,3,6),z=0:0.1:100; x=sin(z);y=cos(z).*10;
 comet3(x,y,z)                      】

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