卡曼滤波器入门教程数学基础2

正态分布

事实证明，许多自然现象遵循正态分布，正态分布，也称为高斯分布（以数学家卡尔·弗里德里希·高斯命名），由以下等式描述：

高斯曲线也被称为正态分布的概率密度函数（PDF）。

下图描述了三个城市的披萨配送时间PDF：城市A、城市B和城市C：

l在城市“A”，平均交货时间为30分钟，标准偏差为5分钟。l在城市“B”，平均交货时间为40分钟，标准偏差为5分钟。l在城市“C”，平均交货时间为30分钟，标准偏差为10分钟。

我们可以看到，城市“A”和城市“B”的披萨配送时间的高斯形状是相同的；然而，它们的中心是不同的，这意味着在A城市，你平均等待披萨的时间要少10分钟，而披萨配送时间的偏差程度是一样的。

我们还可以看到，城市“A”和城市“C”中的高斯曲线中心是相同的；然而，它们的形状不同。因此，这两个城市的平均披萨配送时间是相同的，但偏差程度不同。

下图描述了正态分布的比例：

l68.26%的交货时间在μ±σ范围内（25-35分钟）l95.44%的交付时间在μ±2σ范围内（20-40分钟）l99.74%的交付时间在μ±3σ范围内（15-45分钟）

通常，测量误差是服从正态分布的，卡尔曼滤波器设计假设测量误差服从正态分布。

随机变量 `

随机变量描述系统的隐藏状态，随机变量是来自随机实验的一组可能值，随机变量可以是连续的或离散的：

l连续随机变量可以取特定范围内的任何值，例如电池充电时间或马拉松比赛时间是连续随机变量。l一个离散的随机变量是可计数的，例如网站访问者的数量或班级中的学生人数。

随机变量由概率密度函数描述，概率密度函数具有距的特性，随机值的矩是随机变量幂次方的期望值，我们对两种类型的矩感兴趣：

lK阶原点矩是随机变量k次幂的期望值：E（Xk）lK阶中心矩是随机变量分布关于其均值的第k次幂的期望值：E（（X−μX）k）

在本教程中，随机变量的特征如下：

l一阶原点矩E（X）–测量序列的平均值l二阶中心力矩E（（X−μX）2）–测量序列的方差

估计、准确度和精度

估计是对系统隐藏状态的评估，飞机的真实位置对观察者是隐藏的，我们可以使用雷达等传感器来估计飞机的位置，通过使用多个传感器并应用高级估计和跟踪算法（例如卡尔曼滤波器），可以显著改善估计，每个测量或计算的参数都是一个估计值。

准确度指示测量值与真实值的接近程度。

精度描述了同一参数的一系列测量的差异程度，准确度和精密度是估计的基础。

下图说明了精确度和精度：

高精度系统的测量方差较小（即，不确定度较低），而低精度系统的度量方差较大（即，高不确定度），随机测量误差是方差产生的原因。

低准确度系统被称为有偏系统，因为它们的测量具有内置的系统误差（偏置）。

方差的影响可以通过平均或平滑测量来减小，例如，如果我们使用具有随机测量误差的温度计测量温度，我们可以进行多次测量并求平均值。由于误差是随机的，一些测量值将高于真实值，而其他测量值将低于真实值，估计值将接近真实值，我们做的测量越多，估计就越接近。

另一方面，有偏差的温度计会在估算中产生恒定的系统误差。

本教程中的所有示例都假定系统是无偏差的。

总结

下图显示了从统计学视的角度来看待测量：

测量值是一个随机变量，由概率密度函数（PDF）描述。

测量的平均值是随机变量的期望值。

测量值的平均值和真实值之间的偏差是测量值的准确度，也称为偏差或系统测量误差。

测量值的离散度是测量精度，也称为测量噪声、随机测量误差或测量不确定度。