人工智能之神经网络新思路：OpenAI用线性非线性问题

　　　　神经网络通常由一个线性层和非线性函数（比如 tanh 和修正线性单元 ReLU）堆栈而成。如果没有非线性，理论上一连串的线性层和单一的线性层在数学上是等价的。因此浮点运算是非线性的，并足以训练深度网络。这很令人惊讶。

　　背景

　　计算机使用的数字并不是完美的数学对象，而是使用有限个比特的近似表示。浮点数通常被计算机用于表示数学对象。每一个浮点数由小数和指数的组合构成。在 IEEE 的 float32 标准中，小数分配了 23 个比特，指数分配了 8 个比特，还有一个比特是表示正负的符号位 sign。

　　

　　按照这种惯例和二进制格式，以二进制表示的最小非零正常数是 1.0..0 x 2^-126，以下用 min 来指代。而下一个可表示的数是 1.0..01 x 2^-126，可以写作 min+0.0..01 x 2^-126。很显然，第一和第二个数之间的 gap 比 0 和 min 之间的 gap 小了 2^20 倍。在 float32 标准中，当一个数比最小的可表示数还小的时候，则该数字将被映射为零。因此，近邻零的所有包含浮点数的计算都将是非线性的。（而反常数是例外，它们在一些计算硬件上可能不可用。在我们的案例中通过设置归零（flush to zero，FTZ）解决这个问题，即将所有的反常数当成零。）

　　因此，虽然通常情况下，所有的数字和其浮点数表示之间的区别很小，但是在零附近会出现很大的 gap，而这个近似误差可能带来很大影响。

　　

　　这会导致一些奇怪的影响，一些常用的数学规则无法发挥作用。比如，（a + b） x c 不等于 a x c + b x c。

　　比如，如果你设置 a = 0.4 x min，b = 0.5 x min，c = 1 / min。

　　则：（a+b） x c = （0.4 x min + 0.5 x min） x 1 / min = （0 + 0） x 1 / min = 0。

　　然而：（a x c） + （b x c） = 0.4 x min / min + 0.5 x min x 1 / min = 0.9。

　　再比如，我们可以设置 a = 2.5 x min，b = -1.6 x min，c = 1 x min。

　　则：（a+b） + c = （0） + 1 x min = min

　　然而：（b+c） + a = （0 x min） + 2.5 x min = 2.5 x min。

　　在这种小尺度的情况下，基础的加法运算变成非线性的了！

　　使用进化策略利用非线性

　　我们想知道这种内在非线性是否可以作为计算非线性的方法，如果可以，则深度线性网络能够执行非线性运算。挑战在于现代微分库在非线性尺度较小时会忽略它们。因此，使用反向传播利用非线性训练神经网络很困难或不可能。

　　我们可以使用进化策略（ES），无需依赖符号微分（symbolic differentiation）法就可以评估梯度。使用进化策略，我们可以将 float32 的零点邻域（near-zero）行为作为计算非线性的方法。深度线性网络通过反向传播在 MNIST 数据集上训练时，可获取 94% 的训练准确率和 92% 的测试准确率（机器之心使用三层全连接网络可获得 98.51% 的测试准确率）。相对而言，相同的线性网络使用进化策略训练可获取大于 99% 的训练准确率、96.7% 的测试准确率，确保激活值足够小而分布在 float32 的非线性区间内。训练性能的提升原因在于在 float32 表征中使用非线性的进化策略。这些强大的非线性允许任意层生成新的特征，这些特征是低级别特征的非线性组合。以下是网络结构：

　　在上面的代码中，我们可以看出该网络一共 4 层，第一层为 784（28*28）个输入神经元，这个数量必须和 MNIST 数据集中单张图片所包含像素点数相同。第二层与第三层都为隐藏层且每层有 512 个神经元，最后一层为输出的 10 个分类类别。其中每两层之间的全连接权重为服从正态分布的随机初始化值。nr_params 为加和所有参数的累乘。下面定义一个 get_logist（） 函数，该函数的输入变量 par 应该可以是上面定义的 nr_params，因为定义添加偏置项的索引为 1、3、5，这个正好和前面定义的 nr_params 相符，但 OpenAI并没有给出该函数的调用过程。该函数第一个表达式计算第一层和第二层之间的前向传播结果，即计算输入 x 与 w1 之间的乘积再加上缩放后的偏置项（前面 b1、b2、b3 都定义为零向量）。后面两步的计算也基本相似，最后返回的 o 应该是图片识别的类别。不过 OpenAI 只给出了网络架构，而并没有给出优化方法和损失函数等内容。