激活函数 - 由Python算法编程来实现神经网络设计理论

当前层输出为Ij，f为非线性转化函数，又称为激活函数，定义如下：

即每一层的输出为：

这样就可以通过输入值正向得到每一层的输出值。

2、根据误差反向传送 对于输出层：其中Tk是真实值，Ok是预测值

对于隐藏层：

权重更新：其中l为学习率

偏向更新：

3、终止条件
偏重的更新低于某个阈值；
预测的错误率低于某个阈值；
达到预设一定的循环次数；

4、非线性转化函数
上面提到的非线性转化函数f，一般情况下可以用两种函数：
（1）tanh(x)函数：
tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)
sinh(x)=(exp(x)-exp(-x))/2
cosh(x)=(exp(x)+exp(-x))/2
（2）逻辑函数，本文上面用的就是逻辑函数

五、BP神经网络的python实现

需要先导入numpy模块
import numpy as np

定义非线性转化函数，由于还需要用到给函数的导数形式，因此一起定义
def tanh(x):
return np.tanh(x)
def tanh_deriv(x):
return 1.0 - np.tanh(x)*np.tanh(x)
def logistic(x):
return 1/(1 + np.exp(-x))
def logistic_derivative(x):
return logistic(x)*(1-logistic(x))

设计BP神经网络的形式（几层，每层多少单元个数），用到了面向对象，主要是选择哪种非线性函数，以及初始化权重。layers是一个list，里面包含每一层的单元个数。
class NeuralNetwork:
def __init__(self, layers, activation='tanh'):
"""
:param layers: A list containing the number of units in each layer.
Should be at least two values
:param activation: The activation function to be used. Can be
"logistic" or "tanh"
"""
if activation == 'logistic':
self.activation = logistic
self.activation_deriv = logistic_derivative
elif activation == 'tanh':
self.activation = tanh
self.activation_deriv = tanh_deriv

self.weights = []
for i in range(1, len(layers) - 1):
self.weights.append((2*np.random.random((layers[i - 1] + 1, layers[i] + 1))-1)*0.25)
self.weights.append((2*np.random.random((layers[i] + 1, layers[i + 1]))-1)*0.25)

实现算法

def fit(self, X, y, learning_rate=0.2, epochs=10000):
X = np.atleast_2d(X)
temp = np.ones([X.shape[0], X.shape[1]+1])
temp[:, 0:-1] = X
X = temp
y = np.array(y)

for k in range(epochs):
i = np.random.randint(X.shape[0])
a = [X[i]]

for l in range(len(self.weights)):
a.append(self.activation(np.dot(a[l], self.weights[l])))
error = y[i] - a[-1]
deltas = [error * self.activation_deriv(a[-1])]

for l in range(len(a) - 2, 0, -1):
deltas.append(deltas[-1].dot(self.weights[l].T)*self.activation_deriv(a[l]))
deltas.reverse()

for i in range(len(self.weights)):
layer = np.atleast_2d(a[i])
delta = np.atleast_2d(deltas[i])
self.weights[i] += learning_rate * layer.T.dot(delta)

实现预测

def predict(self, x):
x = np.array(x)
temp = np.ones(x.shape[0]+1)
temp[0:-1] = x
a = temp
for l in range(0, len(self.weights)):
a = self.activation(np.dot(a, self.weights[l]))
return a

我们给出一组数进行预测，我们上面的程序文件保存名称为BP
from BP import NeuralNetwork
import numpy as np

nn = NeuralNetwork([2,2,1], 'tanh')
x = np.array([[0,0], [0,1], [1,0], [1,1]])
y = np.array([1,0,0,1])
nn.fit(x,y,0.1,10000)
for i in [[0,0], [0,1], [1,0], [1,1]]:
print(i, nn.predict(i))

结果如下：
([0, 0], array([ 0.99738862]))
([0, 1], array([ 0.00091329]))
([1, 0], array([ 0.00086846]))
([1, 1], array([ 0.99751259]))