- 蒙特卡罗方法（MCM）的基本概念与应用介绍

由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算，当样本容量足够大时，可认为该事件的发生频率即为其概率。因此，先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定结构是否失效，最后从中求得结构的失效概率。MCM正是基于此思路进行分析的。

设有统计独立的随机变量Xi(i=1，2，3，…，k)，其对应的概率密度函数分别为fx1，fx2，…，fxk，功能函数式为Z=g(x1，x2，…，xk)。

首先根据各随机变量的相应分布，产生N组随机数x1，x2，…，xk值，计算功能函数值Zi=g(x1，x2，…，xk)(i=1，2，…，N)，若其中有L组随机数对应的功能函数值Zi≤0，则当N→∞时，根据伯努利大数定理及正态随机变量的特性有：结构失效概率，可靠指标。

从MCM的思路可看出，MCM可以回避结构可靠度分析中的数学困难，不管状态函数是否非线性、随机变量是否非正态，只要模拟的次数足够多，就可得到一个比较精确的失效概率和可靠度指标。特别当变异系数较大时，与JC法计算的可靠指标相比，结果更为精确，并且由于思路简单易于编制程序。

MCM主要步骤:

蒙特卡罗方法工作过程可以归结为三个主要步骤：

1）构造或描述概率过程

对于本身就具有随机性质的问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。打个不恰当的比方，工作中有困难，要迎着困难上；没有困难，也要制造困难，再迎着困难上^_^

2）实现从已知概率分布抽样

构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。随机数是具有概率分布的随机变量。随机数是实现蒙特卡罗模拟的基本工具。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数(或伪随机数序列)。但经过多种统计检验表明，伪随机数(或伪随机数序列)与真正的随机数（或随机数序列）具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。

3）建立各种估计量

构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，称它为无偏估计。建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。

通常蒙特卡罗方法通过构造符合一定规则的随机数来解决各种实际问题。对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题，蒙特卡罗方法是一种有效的求出数值解的方法。

MCM工作过程:

在解决实际问题的时应用蒙特卡罗方法主要有两部分工作：

1．用蒙特卡罗方法模拟某一过程时，需要产生某一概率分布的随机变量。

2．用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到实际问题的数值解。