背包问题九讲

c语言相关的重要知识点

P01： 01背包问题

题目

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c［i］，价值是w［i］。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

基本思路

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即f［i］［v］表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

f［i］［v］=max{f［i-1］［v］，f［i-1］［v-c［i］］+w［i］}

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f［i-1］［v］；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c［i］的背包中”，此时能获得的最大价值就是f［i-1］［v-c［i］］再加上通过放入第i件物品获得的价值w［i］。

优化空间复杂度

以上方法的时间和空间复杂度均为O（VN），其中时间复杂度应该已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O。

先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f［i］［0..V］的所有值。那么，如果只用一个数组f［0..V］，能不能保证第i次循环结束后f［v］中表示的就是我们定义的状态f［i］［v］呢？f［i］［v］是由f［i-1］［v］和f［i-1］［v-c［i］］两个子问题递推而来，能否保证在推f［i］［v］时（也即在第i次主循环中推f［v］时）能够得到f［i-1］［v］和f［i-1］［v-c［i］］的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f［v］，这样才能保证推f［v］时f［v-c［i］］保存的是状态f［i-1］［v-c［i］］的值。伪代码如下：

for i=1..N

for v=V..0

f［v］=max{f［v］，f［v-c［i］］+w［i］};

其中的f［v］=max{f［v］，f［v-c［i］］}一句恰就相当于我们的转移方程f［i］［v］=max{f［i-1］［v］，f［i-1］［v-c［i］］}，因为现在的f［v-c［i］］就相当于原来的f［i-1］［v-c［i］］。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f［i］［v］由f［i］［v-c［i］］推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。

事实上，使用一维数组解01背包的程序在后面会被多次用到，所以这里抽象出一个处理一件01背包中的物品过程，以后的代码中直接调用不加说明。

过程ZeroOnePack，表示处理一件01背包中的物品，两个参数cost、weight分别表明这件物品的费用和价值。

procedure ZeroOnePack（cost，weight）

for v=V..cost

f［v］=max{f［v］，f［v-cost］+weight}

注意这个过程里的处理与前面给出的伪代码有所不同。前面的示例程序写成v=V..0是为了在程序中体现每个状态都按照方程求解了，避免不必要的思维复杂度。而这里既然已经抽象成看作黑箱的过程了，就可以加入优化。费用为cost的物品不会影响状态f［0..cost-1］，这是显然的。

有了这个过程以后，01背包问题的伪代码就可以这样写：

for i=1..N

ZeroOnePack（c［i］，w［i］）;

初始化的细节问题

我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。

如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f［0］为0其它f［1..V］均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f［N］是一种恰好装满背包的最优解。

如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f［0..V］全部设为0。

为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。

这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题，后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。