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尽管现在人们可能会被诱惑去证明关于实变量的全纯函数的定理，但是读者很快就会发现复杂分析是一门新的学科，它为适合其自身性质的定理提供了证明。实际上，我们在下一章中讨论的全纯函数的主要性质的证明一般都很短，而且很有启发性。复杂分析的研究沿着两条经常相交的路径进行。在遵循第一种方法时，我们寻求理解全纯函数的普遍特性，而不特别考虑具体的例子。第二种方法是分析一些特殊的函数，这些函数在数学的其他领域被证明是非常有趣的。当然，如果我们没有沿着这条路走一段路，就不能走得太远。我们将从全纯函数的一些一般特征性质开始研究，这些性质包含三个相当神奇的事实：
另外两个值得注意的问题是：fourier变换及其通过轮廓积分与复杂分析的优雅联系，以及poisson求和公式的应用；还有保角映射，其逆是由schwarz-christoffel公式实现的多边形的映射，以及导致椭圆积分和椭圆函数的矩形的特殊情况。
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