Adomian分解法与Runge Kutta方法有什么区别和比较说明

　　利用数值实验， 对 Adomia n 分解法和经典 Runge-Kutta 方法进行比较。实验结果表明， 用 Adomian 分解法求解微分方程具有误差小、精度高的优点.

　　Adomian 分解法又称逆算符法 ，是由美国数学物理学家 George Adomian 提出和发展起来的求解线性、非线性数学物理方程近似解析解的一个新的数学方法， 其特点是适用范围广， 计算过程简单 ， 收敛速度快，对处理强非线性问题既不需要借助线性、摄动 、迭代或简化模型方程等途经 ，也不需要数值方法（如差分法、有限元法、边界元法等）。分解法的基本精神主要包含 3 层意思 ：一是把一个方程的真解分解为若干个解分量之和 ，设法分别求出各阶解分量，然后让这些解分量之和以任意所需的高精度逼近真解 ;二是把整个方程恰当地分解为若干部分 ，主要按照算符分解为线性、非线性、确定及随机性各部分 。原则上可以任意地分解，但要讲究技巧，如所选的确定项线性算符是可逆的 ，从而易于求得该线性算符相应方程的部分解，然后利用已知初值或边值条件， 从中设法找出方程中的其余部分解与部分解之间的关系。最主要的是 ，使其中高阶解分量只取决于低阶解分量，以便可以由低阶分量按一定规则推出任意高阶解分量 ;三是对非线性方程中最要害的非线性项（函数）提出巧妙的方法，产生一个与其等价的多项式，用一个特殊的有规律可求的多项式替代非线性函数 ，即 Adomian 多项式 ，该多项式只由前面低阶的解分量及非线性函数来共同确定 。 近年来 ，用 Adomian 分解法求解微分方程的解已被许多作者所研究。本文的主要工作是， 用 Adomian 分解法求解常微分方程， 然后和四阶 Runge -Kutta 方法， 即经典 Runge -Kutta 法进行比较 ，以显示 Adomian 分解法的优点。本文的计算结果是用符号计算系统 M aple 得到的.

　　逆算符方法的基本思想是 ：把一个方程 Fu =g（t）（包括线性与非线性、确定与随机性、代数方程 、常微分方程 、偏微分方程以及微分积分方程等）的真解分解为若干个解的分量之和， 然后设法求出各阶解分量， 把这些解分量之和以任意所需的高精度逼近真解 。其基本步骤 ，一是把整个方程恰当地分解为若干部分， 主要按照算符分解为线性、非线性部分，而线性部分又分为可求逆的线性部分及线性剩余部分 ;二是对非线性部分要用一种方法产生一个与其等价的多项式（称为 Adomian 多项式）， 即用一个特殊的有规律可求的多项式替换非线性函数， 具体地就是将算符 F 分解为