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北京大学2000年研究生入学考试试题
一（20分）质量为 的粒子，在位势
中运动，1）试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数；
2）给出粒子处于 区域中的几率，它是大于 ，还是小于 ？为什么？
解：薛定谔方程可化为：
二、（10分）若 是氢原子的定态矢，计及自旋-轨道耦合。
1）给出 态的守恒量完全集；
2）若 ，则 态的那些量子数可能是不同的？为什么？
解：1） 为耦合基矢，守恒量的完全集合是 ；
2）量子数 必然是相同的。量子数 可能是不同的。因为 不是 的本征函数。
（注： 是 的非零函数， 为电子自旋和坐标算符）
三、（16分）三个自旋为 的粒子，它们的哈密顿为 ，
求本征值和简并度。
解：
个自旋为 的粒子只有以下四个状态：3个自旋均向上，3个自旋均向下，2个自旋向上、1个自旋向下，2个自旋向下、1个自旋向上，总自旋 ，组成四重态。
其本征函数分别为
的本征值为 ，简并度为4.
四、（22分）两个自旋为 的粒子，在 表象中的表示为 ，其中 是第 个粒子自旋向上的几率， 是第 个粒子自旋向下的几率。
1）求哈密顿量 的本征值和本征函数；
2） 时，体系处于
求 时刻发现体系在态 的几率。
解：本征方程为
一（20分）质量为 的粒子，在位势
中运动，1）试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数；
2）给出粒子处于 区域中的几率，它是大于 ，还是小于 ？为什么？
解：薛定谔方程可化为：
二、（10分）若 是氢原子的定态矢，计及自旋-轨道耦合。
1）给出 态的守恒量完全集；
2）若 ，则 态的那些量子数可能是不同的？为什么？
解：1） 为耦合基矢，守恒量的完全集合是 ；
2）量子数 必然是相同的。量子数 可能是不同的。因为 不是 的本征函数。
（注： 是 的非零函数， 为电子自旋和坐标算符）
三、（16分）三个自旋为 的粒子，它们的哈密顿为 ，
求本征值和简并度。
解：
个自旋为 的粒子只有以下四个状态：3个自旋均向上，3个自旋均向下，2个自旋向上、1个自旋向下，2个自旋向下、1个自旋向上，总自旋 ，组成四重态。
其本征函数分别为
的本征值为 ，简并度为4.
四、（22分）两个自旋为 的粒子，在 表象中的表示为 ，其中 是第 个粒子自旋向上的几率， 是第 个粒子自旋向下的几率。
1）求哈密顿量 的本征值和本征函数；
2） 时，体系处于
求 时刻发现体系在态 的几率。
解：本征方程为
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