复旦大学:2002年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题

1、已知一维运动的粒子在态 中坐标 和动量 的平均值分别为 和 ，求在态 中 和 的平均值。（20分）
2、一体系服从薛定谔方程
   
  （1）指出这体系的所有守恒量（不必证明）
  （2）求基态能量和基态波函数。（20分）
3、设 时氢原子处在状态
   
  （1）求此体系能量的平均值，
  （2）求体系处在 态的几率，
  （3）求波函数随时间的变化。
4、一维谐振子受到微扰 作用，在粒子数表象中
 
（1）用微扰论，求能量修正值至二级，
（2）求能量的准确值，并与微扰论给出的结果比较。（20分）
5、设 和 满足对易关系 ，体系的哈密顿为
       
  （2）问 要满足何种条件， 才厄密？
  （2）求体系的能量。

        2004年

1、质量为 的粒子处在宽度为 的一维无限深势阱中，设在时刻 粒子的状态为
      是能量为 归一化本征函数， 为已知常数，求
  （1）在时刻 时，测量能量，结果小于 的几率，
  （2）在时刻 时，能量 和 的平均值，
  （3）时刻为 的波函数 ，
  （4）如果在 态测量能量，所得结果为 ，问粒子处于何种状态？
2、设氢原子处于 态，求
  （1）势能 的平均值，
  （2） 为轨道角动量，求算符 的平均值 。
     （已知 ）（30分）
3、一质量为 的粒子在三维势场 中运动，式中 是常数， 为小量
  （1）用微扰论求基态能量至二级修正，
  （2）用简并微扰论求相对于第一激发态的能级至一级修正。（30分）
4、两个自旋为 的粒子组成的体系由哈密顿量 描述，其中 分别是它们的 分量， 为常数，求该哈密顿量的所有能级。（35分）
5、考虑两个具有同样频率 的振子，哈密顿量为     
  记 相应于本征值 和 的本征态为 ，零点能可略。在两个振子具有相互作用后，其哈密顿量为
      
   为正实数，因为有相互作用， 不是H的本征态
  （1）求 的本征值
  （2）设体系在 时，处在 态，求 时的态矢量
  （3）求在 时，体系出现在 态的几率。（25分）
解：本征矢