变截面梁的同伦法分析

变截面梁的同伦法分析
Theme：Variable cross-section beam of Homotopy Analysis Method
本文在已有的梁振动的基本方程基础之上，建立了梁的截面按一维线性方式
变化的模型，并推导出了其自由振动方程，并对该振动方程做了一个比较全面的探索性求解。首先，对该方程传统的幂级数解作了一个探求，只得出了一个零解。其次，运用同伦分析法对其一，二阶频率和一，二阶模态进行了求解。得出了其频率的近似解和模态的近似解析解。并将得到的结果退化到等截面情形，与已有的精确解作了比较，得到了比较满意的效果。在基本方程建立后，借助于计算机工具，运用数学软件MATLAB 行具体的运算。同时，也展示了同伦分析法在求解常微分时的有效性与灵活性，特别是在传统方法失效时，同伦分析法更是显示出了它独特的价值。
关键词：振动 频率 模态 同伦分析法 有效性 灵活性
1 前 言6
1.1 毕业论文的背景、意义..6
1.1.1 关于振动..6
1.1.2 振动在工程中的应用..6
1.2 毕业论文所做的工作.7
2 问题的描述.9
2.1 基本控制方程.9
2.2 本文模型的建立.9
2.3 分离变量..10
2.4 边界条件..11
3 传统方法—多项式幂级数解12
3.1 多项式幂级数解..12
3.1.1 零解12
3.1.2 取前20 阶近似解.12
3.1.3 前15 阶近似解.13
3.2 讨论...15
3.3 总结...15
4 同伦分析方法求解频率. 16
4.1 基本定义.16
4.1.1 引进嵌入变量16
4.1.2 辅助线性算子.16
4.1.3 辅助算子.16
4.2 由同伦分析法构造零阶变形方程..16
4.3 由零阶变形方程推导高阶变形方程..17
5 同伦分析方法求解模态...25
5.1 基本定义...25
变截面梁的同伦法分析
5
5.2 由同伦分析法构造零阶变形方程...25
5.3 由零阶变形方程推导高阶变形方程...26
6 算 例.29
6.2 初始猜测解...29
6.3 具体结果...32
6.4 讨论...39
7 总结与展望..42
7.1 总结..42
7.2 展望42
致谢...43
附录...44