任意散射体形状二维周期结构的弹性波带结构计算方法研究

通过将任意结构的声子晶体单元离散化，采用数值积分的方法，解决了其结构函数求解中的积分问题，从而改进了现有的平面波算法，使之能够计算二维任意单元结构正方晶格声子晶体的带结构。通过对比采用传统的以及本文中改进的平面波算法分别计算得到的规则单元结构声子晶体的带结构，验证了文中算法的正确性。采用文中改进的平面波算法，可方便地对二维声子晶体的单元结构进行拓扑优化，从而改进其带隙特性。
关键词：声子晶体；弹性波带隙；平面波展开；数值积分

近年来，模拟天然晶体原子排列的人造周期性复合结构中经典波（电磁波和弹性波）传播的研究受到广泛关注[1~16]。介电常数（弹性常数）周期性分布的复合结构被称为光子（声子晶体）[1~4]。当电磁波（弹性波）在受到介电常数（弹性常数）的周期性调制时，可能会产生光子（声子）带隙，即一定频率范围的电磁波（弹性波）的传播被抑制或禁止。光子（声子）晶体的这种特性具有极大的理论价值和应用前景。
对于声子晶体，甚至在较为简单的各向同性介质中，也存在多种决定弹性波传播的参数（质量密度和两个拉梅常数），所以声子晶体带隙特性的研究较光子晶体更为复杂和具有丰富的物理内涵；另外声子晶体在无源隔音、精密机械平台减振、声滤波器等新型声学功能材料方面具有广泛的应用前景。因此，声子晶体带隙特性的研究正在成为一个新的热点[5~16]。
现有的声子晶体带隙计算方法主要有平面波展开法(PWE)[5~9]、多散射理论(MST)[10~14]以及时域有限差分(FDTD)[15,16]方法。其中，FDTD算法适合计算任意有限尺寸复合结构的弹性波传输特性，但无法计算声子晶体的带结构；传统的PWE方法应用最为广泛，易于理解，且计算相对简单，但其仅适合对规则单元结构的声子晶体带结构进行计算，对于任意单元结构的声子晶体，由于结构函数难以推导，因此无法进行带结构的计算；MST方法既可以计算声子晶体的带结构，又可以计算有限尺寸复合结构的弹性波传输特性，但其理论推导复杂，而且目前只限于处理圆柱[14]及球形散射体[10]单元结构的声子晶体，应用上存在很大局限。
本文采用数值积分的方法，在保证一定精度的前提下，通过将任意结构的声子晶体单元离散化，将积分转变为求和，解决了其结构函数求解中的积分问题，从而改进了现有的PWE算法，使之能够计算任意单元结构二维声子晶体的带结构。通过对比采用传统的以及本文中改进的PWE算法分别计算得到的规则单元结构二维声子晶体的带结构，验证了文中算法的正确性。使用文中改进的PWE算法，可方便地对二维声子晶体单元结构进行拓扑优化，从而改进带隙性能。