系统的数学模型—微分方程与传输算子

第二章 连续系统时域分析  不涉及任何数学变换，而直接在时间变量域内对系统进行分析，称为系统的时域分析。其方法有两种：时域经典法与时域卷积法。  时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。这种方法的优点是直观，物理概念清楚，缺点是求解过程冗繁，应用上也有局限性。所以在20世纪50年代以前，人们普遍喜欢采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法)，而较少采用时域经典法。20世纪50年代以后，由于δ(t)函数及计算机的普遍应用，时域卷积法得到了迅速发展，且不断成熟和完善，已成为系统分析的重要方法之一。时域分析法是各种变换域分析法的基础。  在本章中，首先建立系统的数学模型——微分方程，然后用经典法求系统的零输入响应，用时域卷积法求系统的零状态响应，再把零输入响应与零状态响应相加，即得系统的全响应。其思路与程序是：

其次，将介绍：系统相当于一个微分方程；系统相当于一个传输算子H(p)；系统相当于一个信号——冲激响应h(t)。对系统进行分析，就是研究激励信号f(t)与冲激响应信号h(t)之间的关系，这种关系就是卷积积分。

2-1    系统的数学模型——微分方程与传输算子

研究系统，首先要建立系统的数学模型——微分方程。建立电路系统微分方程的依据是电路的两种约束：拓扑约束(KCL，KVL)与元件约束(元件的时域伏安关系)。为了使读者容易理解和接受，我们采取从特殊到一般的方法来研究。  图2-1(a)所示为一含有三个独立动态元件的双网孔电路，其中 为激励， ， 为响应。对两个网孔回路可列出KVL方程为

上两式为含有两个待求变量 ， 的联立微分积分方程。 为了得到只含有一个变量的微分方程， 须引用微分算子 ，即
	， ，…，
在引入了微分算子 后，上述微分方程即可写
即
			(2-1)
根据式(2-1)可画出算子形式的电路模型，如图2-1(b)所示。将图2-1(a)与(b)对照， 可很容易地根据图2-1(a)画出图2-1(b)，即将L改写成Lp，将C改写成  ， 其余一切均不变。当画出了算子电路模型后，即可很容易地根据图2-1(b)算子电路模型列写出式(2-1)。
给式(2-1)等号两端同时左乘以p，即得联立的微分方程，即
将已知数据代入上式，得
			(2-2)
用行列式法从式(2-2)中可求得响应i1(t)为
注意，在上式的演算过程中，消去了分子与分母中的公因子p。这是因为所研究的电路是三阶的， 因而电路的微分方程也应是三阶的。但应注意，并不是在任何情况下分子与分母中的公因子都可消去。 有的情况可以消去，有的情况则不能消去，视具体情况而定。故有
即
即
上式即为待求变量为i1(t)的三阶常系数线性非齐次常微分方程。 方程等号左端为响应i1(t)及其各阶导数的线性组合， 等号右端为激励f(t)及其各阶导数的线性组合。
利用同样的方法可求得i2(t)为
即
即
即
上式即为描述响应i2(t)与激励f(t)关系的微分方程。
推广之，对于n阶系统，若设y(t)为响应变量， f(t)为激励，如图2-2所示，则系统微分方程的一般形式为
			(2-3)
用微分算子 表示则为
或写成
又可写成
式中
称为系统或微分方程式(2-3)的特征多项式；
		(2-4)
H(p)称为响应y(t)对激励f(t)的传输算子或转移算子，它为p的两个实系数有理多项式之比， 其分母即为微分方程的特征多项式D(p)。H(p)描述了系统本身的特性，与系统的激励和响应无关。
这里指出一点：字母p在本质上是一个微分算子，但从数学形式的角度，以后可以人为地把它看成是 一个变量(一般是复数)。这样，传输算子H(p)就是p的两个实系数有理多项式之比。
例2-1  图2-3(a)所示电路。求响应u1(t),u2(t)对激励 的传输算子及u1(t),u2(t)分别对i(t)的微分方程。
解  其算子形式的电路如图2-3(b)所示。对节点①，②列算子形式的KCL方程为
代入数据得
对上式各项同时左乘以p，并整理得
用行列式法联解得
故得u1(t)对i(t)，u2(t)对i(t)的传输算子分别为
进而得u1(t),u2(t)分别对i(t)的微分方程为
即
可见，对不同的响应u1(t),u2(t)，其特征多项式 都是相同的， 这就是系统特征多项式的不变性与相同性。