基于MATLAB仿真频率细化过程介绍

１ 频率细化过程介绍

频率细化是在信号处理和模态分析中广泛应用的一种技术，它能够提高频率的分辨率，将选定的频率域上的特性曲线放大，从而使系统的频率特性能更清楚地显示出来，如图１所示。

设系统的采样频率为fs，采样点数为NO，则频率分辨率为：

Δf=fs/NO

从上式可以看出，要进行频率细化，即提高频率分辨率，使Δf变小，有两种方法：增加采样点数NO和降低采样频率fs，这里只介绍降低采样频率的方法。

这种方法主要是基于移频原理，如图2所示。

设想要移频部分的频率为fp，其角频率为wp=2πfp，令f （t）=exp（-jwpt）。时域信号x（t）与f（t）卷积后，则在频域上，该信号的fp频率就移到了原点处。

信号频率移到低频后，经过低通滤波，就可以用低的采样频率进行采样，从而达到提高频率分辨率、频率细化的目的。具体过程如图3所示。

2 移频法频率细化过程中几个问题的分析

（1） 非细化处理的系统采样频率为fs，采样点数为NO。对于细化过程，设频率细化倍数为Nr，信号经过抗混叠滤波器后进行A/D采样，采样频率应仍为原来的 fs，保持不变，采样点数则为Nr*NO，这样就保证了细化与非细化处理的基本频带范围保持不变，并且可以细化这一频带中的任何一段。

（2）要细化的频率范围为fl～fu，移频后，低频点fl移到原点，则高频点变为（fu-fl）。这时数字低通滤波器的截止频率应大于（fu-fl），并小于低频重采样频率fs/Nr的一半。即截止频率的范围为：

（fu-fl）＜fc＜fs/2Nr

且可以得到最大细化倍数Ｎ与细化频率范围之间的关系为：

Nr＜fs/2（fu-fl）

这为设置细化倍数范围提供了依据。

（3）数字低通滤波器的通带必须平，通带内波动要小，这样原信号的频率特性细化后在幅值上才不会改变;同时，最好使滤波器的带外衰减＞-70dB，且-70dB处的频率＜fs／2Nr，这样就能保证低频重新采样时抗混叠的效果最好，细化的效果也最好。

（4） 细化与不细化过程占用时间的比较：由于采样点数NO保持不变，因此细化处理的FFT时间与不细化的FFT时间一样，都是NOLog（NO）/2;细化过程 要进行Nr*NO点的高频采样和NO点的低频采样，而不细化过程只进行NO点的高频采样，所以在采样时间上，细化过程要稍长一点。但它与NO点的FFT变 换时间比起来可以不计，因此，细化处理与不细化处理在时间上差不多。

（5） 移频法频率细化与增加采样点数频率细化的比较：移频法频率细化只进行NO个点的FFT变换，和一些数组、矩阵的运算，它所花的时间约 为：NOLog（NO）/2;而采用增加采样点数频率细化要进行Nr*NO个点的FFT变换，它所花的时间约为：（Nr*NO）Log（Nr*No） /2，因此采用移频法频率细化的时间要短得多，这是它的优点，也是工程应用中多采用这种方法的原因，我们也只对它进行仿真。

由于移频使fl前面的频段移到频域的负轴上，而低通滤波又滤掉了fu后面的高频部分，因此，这种方法只能进行一段频率的细化，不能进行全频段的细化，这是移频法频率细化的缺点。要进行全频段细化，可以采用增加采样点数的方法。

３ 用MATLAB仿真频率细化过程

用MATLAB程序仿真图3这个过程，主要实现A/D采样、移频、低通滤波、低频重新采样、FFT变换等，同时注意上面几个问题的分析。

总 信号由302Hz、304Hz、306Hz、308Hz四个不同频率、不同幅值的正余弦信号合成。采样点为512，采样频率为5120Hz，则频率分辨率 为10Hz，这在频域内分辨不出这四个信号。仿真软件在300～320Hz范围内细化10倍，则这时频率分辨率为1Hz，就可以逐渐看清楚这四个信号。

x（t）=sin（2*302）+2cos（2π*304）+3sin（2π*306）＋4sin（２π*308）

细化处理需要5120个采样点，仿真时A/D采样用对连续信号x（t）　进行离散化来代替，离散化的点值就是采样值，它们组成一个数组（矩阵），这是一个点序列。

采样完成后，对采样点进行移频仿真（将300Hz移频到原点），由以下步骤实现：

令：F1=300W1=２π*F1

f（t）=exp（-jw1*t）

ｔ取离散化时刻，Δt=1/fsTk=k*Δt

则f（t）离散化可变为：

f（k）=exp（-jw1*Tk）

=exp［（-j2π*f1*k）/fs］

这也是一个点序列。

MATLAB将上面两个点序列进行卷积（矩阵相乘），得到一个新的点序列，就实现了移频过程，即使F1=300Hz 在频域上移动了0，其它频率特性依此前移。

MATLAB语言有很方便的滤波器设计和数字滤波功能，可用它设计一个带内波动＜0.1dB，带外衰减＞-70dB，截止频率为20Hz的低通滤波器，并将上面的点序列进行数字滤波，得到一个只在0～20Hz频段上有特性曲线、其它频段被滤掉的信号的点序列。

对上面的点序列每隔10点（细化倍数）进行抽取，实际上就是对经移频、滤波后的信号进行重新采样。采样频率为S120Hz/10，即采样频率降低了10倍，抽取得到512个点。

对这512个点进行FFT变换，就可以得到300Hz～320Hz频段上已细化10倍的频率特性曲线了，结果如图4、图8所示。

用仿真程序分别进行2、4、8、10倍的频率细化，从运行结果可以看出，细化倍数越大，频率分辨率就越高，频域波形越看得清楚，这与理论是相符合的。