基本π网络之三电容电路和零极点分析 - 全文

三电容电路是基本π网络的一种，多角度理解三电容电路是模拟电路设计入门的关键，本文将详细解说三电容电路图和三电容电路时域分析。

三电容电路

作为基本π网络的一种，三电容电路是理解模拟电路频响、放大器稳定性、开关-电容放大器、开关-电容积分器、采样保持放大器的基础。从多种不同的角度深刻理解三电容电路是模拟电路设计入门的关键，同时三电容电路也是各大电路公司面试常用的题型。

首先，这个电路有三个电容，但是三个电容形成一个环，电路只有两个独立的状态变量（state variable），所以这个电路的传输函数只有两个极点。

基本π型函数列出传输函数V2/I1

零极点的位置如下图，有一个极点在原点，注意有一个零点在右半平面。

假设拉普拉斯域I1（s） 为 1，或者时域i1（t）为1*δ（t），我们可以通过拉普拉斯反变换找出v2（t）：

我们发现，v2（t） 由一个阶跃项和一个指数项组成，指数项会衰减到0，但是阶跃项会一直保持。合在一起的总响应就是一开始有一个反向的过冲（overshoot），然后会以指数衰减的方式稳定到一个固定的终值。5

现在我们换一种方式来分析零极点。之前我们讲过，极点是由电路的纯粹的拓扑结构所定的，每一个网络函数都有一样的极点。

三电容电路零极点分析

现在我们来看这个纯粹的电路。假设这个电路是零状态的（relaxed），那么这个电路是线性时不变的（LTI），所以C1 C2组成了一个分压器，那么我们可以用V1来表示V2。

但是V2由是受控源两端的电压，而这个受控源也受到V1的控制，所以就变成了压控电流源被自己两端电压所控制。一个被自己电压控制的电流源就是一个电阻。所以我们可以算出该电阻：

于是，三电容电路变成了下图。这个电路的时间常量很好算了，算出来果然跟我们之前算的一个极点吻合。

另一个极点呢？

我们现在假设C2 C3上的t=0- 时的初始状态为这样：

当t=0时，我们发现整个电路没有电流，C2 C3上的电压一直保持着，这种能够保持初始状态的网络，一定有一个极点在原点。我们可以举一个最简单的例子，一个电容可以保持电压，所以电容的阻抗这个网络函数有一个极点在原点。

这也与我们之前的推导吻合。

现在找零点，我们之前学过，零点是很特别的，是由激励和响应的相对位置决定的。找零点需要抵消响应。现在我们把响应V2 抵消掉，如图：

那么C3没有电流，受控源的电流等于C2的电流，但是C2的电流由可以被直接用V1表示出来，所以：

三电容电路时域分析

然后，我们从时域的角度把三电容电路的机理再过一次（非常重要！是深入理解三电容电路并帮你通过面试拿到offer的关键！）。

我们必须要先理解冲激电流的物理意义。单位冲激电流在拉普拉斯域的表示为1。注意这个1是有单位的，单位是库伦，大家可以思考一下为什么电流的拉普拉斯转换的单位是库伦。在时域里，单位冲激函数前面的1的单位也是库伦，因为单位冲激函数的积分为1，但是电流的积分必须是库伦，所以这里的1代表了一个包裹的1库伦电荷，这个1库伦的电荷只需要0时间就可以被输送，因为在t=0的时候，电流无穷大。

所以，单位冲激电流的物理意义就是用0时间通过无穷大的电流向一个高斯面里输送了1库伦电荷。

现在回到三电容电路，在t=0-时，三个电容都没有初始电荷。在t=0时，1库伦的电荷被注入到了红色高斯面里。现在的问题是，会不会有有限量的电荷在t=0时流入绿色高斯面。我们来分析这个情况：

如果有有限量的电荷流入绿色高斯面，那说明受控源gmv1必须是无穷大，因为无穷大的电流才能在0时间内输送有限的电荷，有限的电流在0时间内输送0电荷。

这表示v1是无穷大，但是v1无穷大的话，红色高斯面内必须有无穷大的电荷，这不可能，因为冲激电流所携带的电荷是有限的。所以受控源电流是有限的，受控源在0时间内不输送任何电荷。所以在t=0+时，只有电荷会在C1 C2 C3 中重新分布，1库伦的电荷会在C1+C2||C3这个总电容上建立一个电压v1（0+）。C2 和C3必须形成一个分压器，因为C2的右极板和C3的上极板的电荷总和为0。这样我们可以推出v2（0+）：

化简v2（o+），我们可以得到：

这跟我们之前用拉普拉斯转换得到的结果一致！

下面看最终状态，当电路达到最终状态时，所有的状态变量都不再改变了（除非我们有共振或者不稳定的特殊情况，然而这个电路显然没有），这说明受控源gmv1必须为0，v1必须为0。但是当t》0时，红色高斯面内的电荷就不再会改变了，因为独立电流源为0，所以所有1库伦的电荷都必须被“挤压”到C2上，产生电压1/C2。因为v1（∞）为0，所以我们可以算出v2（∞）为-1/C2。

这又跟我们用拉普拉斯转换得到的结果一致！

我们之已经分析过，这个电路只有一个非无穷大的时间常量，所以这是一个“准一阶电路”。对于这种电路，只要我们知道在t=0+的初始值和t=∞的终值，中间的行为就是一个一阶指数衰减。所以我们得到与之前一致的响应：

引入非理想效应

接着我们引入一个不理想效应，在受控源处并联一个电导G3（有没有觉得下面的电路图很熟悉？对了，就是MOSFET小信号电路基本就长这样）。

重新使用基本π型函数列出传输函数：

这里，D0成为了误差项，如果要让D0非常接近于1，gmR3要远大于1+C1/C2。

我们来从时域角度看这个问题：

如果G3不为0，那么在终值状态时，会有一个循环的电流流过G3。所以gmv1不为0，那么v1不为0。这样，并非所有的1库伦电荷都被“挤压”到了C2上，这就是导致误差项的原因。对于模拟电路而言，我们希望精确地放大信号，放大倍数最好是元件之间的比例。假如我们的冲激电流源变成了vsC1δ（t），或者说C1 采样了一个电压源vs，C1在t=0时被放置到三电容电路里，如果G3为0，那么响应v2终值将为准确的电容比例-C2/C1 vs。但如果G3不为0，这个比例就会有误差。

三电容电路实际应用

看到这里，大家一定会认为我们会拿MOSFET小信号电路作为例子吧？非也，我们当然要找一个更有趣的例子。下面由焦魔为大家讲一个三电容电路的实例：开关电容积分器（SCIntegrator）。

开关电容积分器是有源梯形滤波器（Active Ladder Filter）的基本组成模块。相比于使用电阻电容有源滤波器（OpAmp RC Filter），开关电容滤波器（SC Filter）具有精度高，噪声小，受工艺、电压、温度影响小的优点（原因是我们不再需要电阻这个在芯片上很难做准的元件了）。下图所示为一种基本的开关电容积分器（前向欧拉型，Forward Euler）的电路。

注：在该电路图中，梯形符号代表跨导放大器（Operational Transconductance Amplifier， OTA）。跨导放大器和我们熟悉的运算放大器非常容易混淆，前者使用梯形符号，后者则是三角形符号。运算放大器的模型是一个压控电压源，跨导放大器的模型是一个压控电流源。严格来讲，我们通常所说的集成电路中的运算放大器实际上都是指跨导放大器；而我们做板级电路设计时使用的运放芯片才是真正的运算放大器。

该电路有两个工作相位。在φ1相位，电容C1的电压跟随输入电压vi变化，φ1相位结束时电容C1的电压即为φ2相位开始时的初始电压。φ2相位时电路的小信号模型如下图右侧所示。其中冲激电流源等效代表了C1的初始电压。电路的时序和波形图如下：

电容C1在每个周期的采样值在tk时刻确定，输出电压在每个周期φ2的开始时刻开始变化，先有一个瞬时的前向馈通，然后以指数衰减的形式稳定到最终的电压值，理想情况下电压的变化量由电容C1和C2的比值以及tk时刻采样的输入电压值决定。同时，上一个周期存在C2上的电荷并没有被释放，所以这个电路就变成了一个积分器。如果考虑OTA有限的输出电阻，这个电压变化量会有一定的偏差。