逻辑代数和普通代数一样，作为一个完整的代数体系，它具有一系列的用于运算的定律、定理和规则。有不少定律在形式上和普通代数完全一致，但其含义却有本质的区别，有些定律是逻辑代数所特有的，在普通代数中没有对应的关系。本节将介绍逻辑代数的基本定律、规则和常用的公式。
2.2.1逻辑代数的基本定律
1.重叠律
(2.2.1)
(2.2.2)
⊙
(2.2.3)
(2.2.4)
2.交换律
(2.2.5)
(2.2.6)
⊙
⊙ (2.2.7)
(2.2.8)
3.结合律
(2.2.9)
(2.2.10)
⊙
⊙
⊙⊙ (2.2.11)
4.分配律
(2.2.12)
(2.2.13)
(2.2.1) (2.2.14)
⊙
⊙
(2.2.15)
5.吸收律
(2.2.16)
(2.2.17)
(2.2.18)
(2.2.19)
6.反演律(摩根定律)
(2.2.20)
(2.2.21)
7.调换律
若⊙
，则必有⊙
，⊙
(2.2.22)
若
，则必有
，
(2.2.23)
上述公式反映了逻辑代数的基本规律,其正确性可以通过真值表加以验证。如反演律的证明：
利用逻辑函数相等的定义证明反演律：
，
。
证明：列真值表如表2.2.1 所示
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表 2.2.1 二变量真值表 |
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0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
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0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
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1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
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1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
根据逻辑函数相等的概念可得：
2.2.2逻辑代数的三个规则
一、代入规则
在任意逻辑代数的等式中，如果将等式两边所有出现变量A的位置都代以一个逻辑函数Y，则原等式仍然成立。因为任何一个逻辑函数Y，它与一个逻辑变量一样，只有0和1两种取值，所以代入规则是正确的。
有了代入规则便可以扩展一些基本的定理和等式的应用范围，只要将已知等式或定理中的某一变量用一个任意的逻辑函数代入，便能得到一个新的等式。
如反演律：
，若令
，则有
。
但是在运用代入规则时应注意，等式中所有出现被替代变量的地方都应该代以同一逻辑函数，否则等式不成立。
二、反演规则
已知逻辑函数Y的表达式，求反函数
表达式的规则，称为反演规则。
对于任意一个逻辑函数表达式Y，若将其表达式中所有出现“·”（注意，逻辑函数表达式中不致混淆的地方，“·”常被省略）的地方换以“＋“；所有出现“＋”的地方换以“·”；所有的常量0换成常量1，常量1换成常量0；所有的原变量换成反变量，所有的反变量换成原变量，这样所得到的新的函数表达式就是
，称之为原函数Y的反函数，或补函数。
必须指出，在运用反演规则时应注意以下两点
（1）变换时应保持原函数运算顺序不变。
（2）变换运算符号的优先顺序，遵循 “先进行括号里的运算变换，再进行逻辑乘的运算变换，最后进行逻辑加的运算变换”。
（3）不属于单个变量上的非号应保留不变。
例2.2.1已知
求
。
解：由反演规则可得
例2.2.2已知 
，求
解：由反演规则可得
三、对偶规则
若两个逻辑表达式
和
相等，则它们的对偶式
和
也必定相等，这就是对偶规则。
对偶式是这样定义的：对于任意一个逻辑函数表达式Y，若将其表达式中所有出现“·”（注意，逻辑函数表达式中不致混淆的地方，“·”常被省略）的地方换以“＋”；所有出现“＋”的地方换以“·”；所有的常量0换成常量1，常量1换成常量0，而其中的变量与原表达式中运算的优先顺序保持不变，这样变换后得到一个新的表达式称为原表达式
的对偶式
与运用反演规则求反函数相比，在求对偶式时应注意三点：
（1）的对偶式与的反演式是不同的。
（2）运用对偶规则时，不需将反变量与原变量置换。
（3）遵循同样运算变换的优先顺序。
例 2.2.3 已知
，求
解：
有些逻辑函数表达式的对偶式就是原函数表达式本身，即
。这时，称函数Y为自对偶函数。例如，函数
是一个自对偶函数。因为：
根据对偶规则，当已证明某两个表达式相等到时，便可知它们的对偶式也相等。
例如，已知
，由对偶规则可知等式两端的对偶式也相等，必有：
很明显，应用对偶规则可使定理、公式的证明减小一半。
2.2.3 逻辑代数的常用公式
逻辑代数的常用基本公式如表2.2.2 所示
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表 2.2.2 常用公式表 |
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序号 |
公式 |
序号 |
公式 |
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1 |
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1’ |
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2 |
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2’ |
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3 |
|
3’ |
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4 |
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4’ |
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5 |
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5’ |
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6 |
|
6’ |
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7 |
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7’ |
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8 |
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9 |
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10 |
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从基本公式中可以看出，公式1－7与公式1’－7’是互为对偶式的，因此只要证明其中的一组公式就可以了，另外一组可以通过对偶规则得到，记忆方便。其正确性可以通过列真值表的方法得以证明。