4．5．1串联谐振
1．谐振条件
图4.37 RLC串联电路
对于如图4.37所示的RLC串联电路，其总阻抗为
假设元件参数L及C不变，则电抗X将随频率变化。当XL>XC时，电路呈感性，电压超前电流；当XL<XC时，电路呈容性，电压滞后电流；当
为某一值，恰好使感抗XL和容抗XC相等时，则X=0，此时电路中的电流和电压同相位，电路的阻抗最小，且等于电阻（Z=R）。电路的这种状态称为谐振。由于是在RLC串联电路中发生的谐振，故又称为串联谐振。
从上面的分析可以看出，对于RLC串联电路，谐振时应满足以下条件，即
在RLC串联电路中，当电路中的参数L、C一定时，谐振频率也就确定了。当电源频率等于谐振频率时，电路就发生谐振。反之，当外加电压的频率固定时，也可以通过改变电路参数（L或C）使电路达到谐振。
2．谐振电路分析
当电路发生谐振时，X=0，因此|Z|=R，即此时电路的阻抗最小，因而在电源电压不变的情况下，电路中的电流将在谐振时达到最大，其数值为
（4.51）
式中
为谐振电流。
由于电源电压与电路中电流同相，因此电路对电源呈现电阻性，电源供给电路的能量全被电阻所消耗，电源与电路之间不发生能量的互换。能量的互换只发生在电感线圈与电容器之间。
发生谐振时，电路中的感抗和容抗相等，而电抗为零。故电感和电容两端电压有效值必然相等，即UL=UC，而
在相位上相反，互相抵消，对整个电路不起作用，因此电源电压
，如图4.38相量图所示。
图4.38 RLC串联谐振相量图
因为
当XL=XC>R时，UL和UC都高于电源电压U。如果电压过高时，可能会击穿线圈和电容器的绝缘，因此，在电力工程中一般应避免发生串联谐振。但在电子技术工程领域则常利用串联谐振以获得较高电压，电容或电感元件上的电压常高于电源电压几十倍或几百倍。
因为串联谐振时UL和UC可能超过电源电压许多倍，所以串联谐振也称电压谐振。
UL或UC与电源电压U的比值，通常用Q来表示
Q称为电路的品质因数。它表示在谐振时电容或电感元件上的电压是电源电压的Q倍。例如，Q=120V，U=10V，那么在谐振时电容或电感上的电压就高达1200V。
在RLC串联电路中，阻抗随频率的变化而改变，由于
，在外加电压U不变的情况下，I也将随频率变化，这一曲线称为电流谐振曲线。如图4.39所示。从图中看出，f越接近f0，电流越大，信号越易通过。f越偏离f0电流越小，信号越不易通过。网络具有这种选择接近于谐振频率附近的电流通过的性能称为“选择性”。选择性与电路的品质因数Q有关，品质因数越大，电流谐振曲线越尖锐，选择性越好。
图4.39 电流谐振曲线
例4.15 收音机的输入回路如图4.36所示，可用RLC串联电路为其模型，其电感为0.233mH，可调电容的变化范围为42.5pF～360pF。试求该电路谐振频率的范围。
解：C＝42.5pF时的谐振频率为
C＝360pF时的谐振频率为
所以此电路的调谐频率为550kHz～1600kHz。
例4.16 在电阻、电感、电容串联谐振电路中，L=0.05mH，C=200pF，品质因数Q=100，交流电压的有效值U=1mV。试求：
（1）电路的谐振频率f0。
（2）谐振时电路中的电流I。
（3）电容上的电压UC。
解（1）电路的谐振频率
例4.17 在图4.40所示电路中，线圈的电感为0.2mH，要想使频率820kHz的信号获得最佳效果，电容器的电容C应调节到多少？
图4.40 例4.16图
解：要使f=820kHz信号获得最佳效果，必须使电路的固有频率为820kHz，即电路谐振频率为
4．5．2并联谐振
1．R、L、C并联谐振电路
（1）谐振条件
在电子技术中为提高谐振电路的选择性，常常需要提高Q值。但是当信号源内阻很大时，采用串联谐振会使Q值大为降低，使谐振电路的选择性显著变差。这种情况下，常采用并联谐振电路。
下面讨论RLC并联谐振电路。
（a） （b）
图4.41 RLC并联谐振电路
（a）电路 (b)相量图
可见RLC并联谐振和串联谐振回路的谐振条件及谐振频率相同。
图4.41（b）为RLC并联电路的相量图。
（2）谐振电路特点
在RLC并联电路中，当XL=XC，即
时，从电源流出的电流最小，电路的总电压与总电流同相，我们把这种现象称为并联谐振。谐振时，电路中电流与电压同相，电路呈现阻性，谐振电流
（4.58）
并联谐振电路也引入品质因数Q，且与串联回路的Q值一样
（4.59）
RLC并联谐振电路的特点有些与串联谐振电路相似，有些与串联谐振电路相反。下面通过对比，简单介绍并联谐振电路的特点。
①并联谐振电路的总阻抗最大。这与串联谐振电路相反。
（4.60）
②并联谐振电路的总电流最小。这与串联谐振电路相反。
③谐振时，回路阻抗为纯电阻，回路端电压与总电流同相。这与串联谐振电路相同。
2．R、L与C并联谐振电路
（1）谐振条件
在实际工程电路中，最常见的、用途极广泛的谐振电路是由电感线圈和电容器并联组成，如图4.42所示。电容器损耗很小，可以忽略不计，可看成一个纯电容。线圈的电阻是不可忽略的，可看成是一个纯电感和电阻串联而成。
（a） （b）
图4.42 R、L与C并联谐振电路
（a）电路 (b)相量图
电感线圈与电容并联谐振电路的谐振频率为
（4.61）
式中：R——线圈的电阻，单位欧姆（Ω）。
这个公式与串联谐振频率公式相同。在实际电路中，如果电阻的损耗较小，应用此公式计算出的结果，误差是很小的。
（2）谐振电路特点
电感线圈与电容并联的电路，谐振时具有的特点与RLC并联谐振电路相同。
因此，并联谐振又叫做电流谐振。
例4.18 在图4.43所示线圈与电容器并联电路，已知线圈的电阻R=10Ω，电感L=0.127mH，电容C=200pF。求电路的谐振频率f0和谐振阻抗Z0。
图4.43 线圈与电容并联谐振电路
例4.19 收音机的中频放大耦合电路是一个线圈与电容器并联谐振回路，其谐振频率为465kHz，电容C=200pF，回路的品质因数Q=100。求线圈的电感L和电阻R。
