数论入门：如何快速求出与n互素的数

01 故事起源

一个数n，在小于等于n的正整数[1,n]中，与n互素的数有多少个呢？

(注：x与n互素，说明x与n的最大公约数为1)

02 分析

最直观的方法当然就是直接枚举所有小于n的数，再通过求最大公约数判断即可。

但当n很大的时候，这个方法就不优了。可能有同学已经发现了，这个不就是欧拉函数的定义吗，所以今天我们从数学上来分析如何快速求解。

03 欧拉函数

欧拉函数定义如下：

欧拉函数具有几个优秀的性质，先介绍几个常用的数学符号，便于描述。

3.1 性质1

当n为素数时，很明显phi(n)=n-1，因为所有小于n的数都与n互素。

当n为某个素数p的幂次时，即n=p^k，则与n不互素的一定为p的倍数。 [1,n]中p的倍数一共有p^(k-1)个，所以互素的即为总数减去不互素的个数。

3. 性质2

欧拉函数是一个积性函数，当整数m,n互素时，phi(mn)=phi(m)*phi(n)。

这个性质的证明需要用到同余和集合相关的定理，有点复杂，以后写同余相关的知识再专门分享如何证明，现在就先记住这个性质就行了。

04 计算

有了这2个性质就可以推导出欧拉乘积公式。

接下来就只需要考虑如何对n进行质因素分解。 最简单的方式可以直接枚举，先找到最小的质因子p1，然后除去所有p1因子，再对剩余的数继续分解。

05 代码实现

inteuler_phi(intn){

intm=sqrt(n+0.5); intans=n;
for(inti=2;i<= m; ++i) {     
if(n==1)break;
if(n%i==0){
ans=ans/i*(i-1);
while(n%i==0)n/=i;

} } if(n>1)ans=ans/n*(n-1);

returnans; }

06 总结

现在的算法复杂度主要取决于寻找第一个质因子，枚举并不是最快的方法，更快的方法是基于费马小定理，miller_rabin，pollard_rho等原理的随机化算法。 数论是一个大类，在很多地方都有重要的应用，而素数在密码学中应用也很广泛，今天分享的算是数论入门的一个介绍，后面还会分享更多有关数论的知识。

编辑：黄飞