采集模拟信号：带宽、奈奎斯特定理和混叠

了解采集模拟信号的基础知识，包含带宽、幅值误差、上升时间、采样率、奈奎斯特定理、混叠与分辨率等。 本教程是仪器基础教程系列的一部分。

1. 什么是数字化仪？
科学家和工程师常用数字化仪采集真实世界中的模拟数据，并将其转换为数字信号用于分析。 数字化仪是指任何用于将模拟信号转换为数字信号的设备。 手机是最常见的一种数字化仪，可将声音（模拟信号）转换为数字信号并将其发送至另一部手机。 但在测试测量应用中，数字化仪通常指示波器或数字万用表(DMM)。 本文主要介绍示波器，但大部分内容也适用于其他数字化仪。

无论哪种类型，数字化仪对于系统精确地重构波形都至关重要。 要确保为应用选择正确的示波器，需考虑示波器带宽、采样率以及分辨率。

2. 带宽
示波器前端包含两个部分：模拟输入路径和模数转换器(ADC)。 模拟输入路径衰减、放大、过滤和/或耦合信号对其进行优化，为ADC数字化做准备。 ADC对调理的信号进行采样，并将模拟输入信号转换为表示模拟输入波形的数字值。 输入路径的频率响应会引起幅值和相位信息的固有损耗。

 

图1. 带宽描述的是输入信号可经过示波器前端的频率范围，示波器前端由两部分构成：模拟输入路径和ADC。

带宽描述的是模拟前端获取外部世界信号到ADC并最小化振幅衰减的能力－从探针的针尖或测试夹具到ADC的输入端。 换句话说，带宽描述的是示波器可精确测量的频率范围。

带宽定义为正弦波输入信号的振幅衰减至原振幅的70.7%时的频率，也称为-3 dB点。 图2和3显示了100 MHz示波器的常规输入响应。

 

图2. 带宽是输入信号的振幅衰减至原振幅的70.7％时的频率。

 

 

图3. 该图表示100 MHz时输入信号达到-3dB点。

带宽等于信号幅值下降到低于通带频率-3 dB时的上下限频率差。 听起来十分复杂，拆分开来之后实际上相对简单。

首先计算-3 dB的值。

公式1. 计算-3 dB点

Vin,pp表示输入信号的峰峰电压， Vout,pp表示输出信号的峰峰电压。 例如，如输入1 V正弦波，则输出电压的计算方式为：

由于输入信号为正弦波，因此输出信号达到该电压值有两个频率；这些频率被称为转折频率 f1 和f2。 这两个频率有多种名称，如转折频率、截止频率、交越频率、半功率点频率、3 dB频率以及折点频率等。 实际上，所有这些术语指的都是同一个值。 信号的中心频率f0是f1 和f2的几何平均数。

公式2. 计算中心频率

带宽(BW)可通过两个转折频率相减进行计算。

公式3. 计算带宽

 

 

图4. 带宽、转折频率、中心频率和3 dB点的相互关系。

计算幅值误差
另一个有用的公式是计算幅值误差。

公式4. 计算幅值误差

幅值误差通过百分比表示，R表示示波器带宽和输入信号频率(fin)的比率。

以上述公式为例，100 MHz示波器1 V时的正弦波输入信号为100 MHs，BW = 100 MHz且fin = 100 MHz。 那么R = 1。则公式计算结果如下所示：

幅值误差为29.3%。 1 V信号的输出电压为：

建议示波器的带宽为被测信号感兴趣最高频率分量的3～5倍，这样就可以在振幅误差最小的情况下捕获信号。 例如，对于100 MHz的1 V正弦波，应该使用300 MHz～500 MHz带宽的示波器。 这些带宽上100 MHz信号的振幅误差为：

计算上升时间
示波器必须有合适的带宽才能精确地测量信号，同时也要有足够的上升时间才能精确捕捉快速转换的细节。 这主要适用于测量如脉冲和步进等数字信号。 输入信号的上升时间是指信号从最大信号振幅的10％上升至90％所需的时间。 有些示波器可能是20％上升至80％，请务必查看用户手册获取具体信息。

 

图5. 输入信号的上升时间是指信号从最大信号振幅的10％上升至90％所需的时间。

上升时间(Tr)可通过下列公式计算：

5. 计算上升时间

常量k取决于示波器。 大部分带宽不到1 GHz的示波器k值为0.35，而带宽大于1 GHz的示波器k值一般在0.4～0.45之间。

测量的理论上升时间Trm可以通过示波器的上升时间Tro和输入信号的实际上升时间Trs来计算得到。

公式6. 计算测量的理论上升时间

建议示波器的上升时间为所测信号上升时间的1/3至1/5，从而以最小上升时间误差捕捉信号。

3. 采样率
采样率与带宽没有直接联系。 采样率是指ADC将模拟输入波形转换为数字数据的频率。 示波器是在经过模拟输入路径的衰减、增益和/或滤波后对信号进行采样的，并将所得到的波形转换为数字形式。 通过快照的方式进行，类似于影片的帧。 示波器采样速度越快，波形的分辨率和细节就越清晰。

奈奎斯特采样定理
奈奎斯特采样定理解释了采样率和所测信号频率之间的关系。 阐述了采样率fs必须大于被测信号感兴趣最高频率分量的两倍。 该频率通常被称为奈奎斯特频率fN。

公式7. 采样率应大于奈奎斯特频率的两倍。

为更好理解其原因，让我们来看看不同速率测量的正弦波。 情况A，频率f的正弦波以同一频率采样。 这些采样标记在原始信号的左侧，在右侧构建时，信号错误地显示为恒定直流电压。 情况B，采样率是信号频率的两倍。 现在信号显示为三角波。 这种情况下，f等于奈奎斯特频率，这也是特定采样频率下为了避免混叠而允许的最高频率分量。 情况C，采样率是4f/3。此时奈奎斯特频率为：

由于f大于奈奎斯特频率

该采样率再现错误频率和形状的混叠波形。

 

图6. 采样率过低会造成波形重构不准确。

因此，为了无失真地恢复原波形信号，采样率fs必须大于被测信号感兴趣最高频率分量的两倍。 通常希望采样率大于信号频率约五倍。