矩阵知识 - opencv角点检测原理详解

　　关于矩阵知识的一点补充：好长时间没看过线性代数的话，这一段比较难理解。可以看到M是实对称矩阵，这里简单温习一下实对称矩阵和二次型的一些知识点吧。

　　1. 关于特征值和特征向量：

　　特征值的特征向量的概念忘了就自己查吧，这里只说关键的。对于实对称矩阵M（设阶数为n），则一定有n个实特征值，每个特征值对应一组特征向量（这组向量中所有向量共线），不同特征值对应的特征向量间相互正交；（注意这里说的是实对称矩阵，不是所有的矩阵都满足这些条件）

　　2. 关于对角化：

　　对角化是指存在一个正交矩阵Q，使得 Q’MQ 能成为一个对角阵（只有对角元素非0），其中Q’是Q的转置（同时也是Q的逆，因为正交矩阵的转置就是其逆）。一个矩阵对角化后得到新矩阵的行列式和矩阵的迹（对角元素之和）均与原矩阵相同。如果M是n阶实对称矩阵，则Q中的第 j 列就是第 j 个特征值对应的一个特征向量（不同列的特征向量两两正交）。

　　3. 关于二次型：

　　对于一个n元二次多项式，f（x1，x2.。。.xn） = ∑ （ aij*xi*xj ） ，其中 i 和 j 的求和区间均为 ［1，n］ ，

　　可将其各次的系数 aij 写成一个n*n矩阵M，由于 aij 和 aji 的对称等价关系，一般将 aij 和 aji 设为一样的值，均为 xi*xj 的系数的二分之一。这样，矩阵M就是实对称矩阵了。即二次型的矩阵默认都是实对称矩阵

　　4. 关于二次型的标准化（正交变换法）：

　　二次型的标准化是指通过构造一个n阶可逆矩阵 C，使得向量 （ x1，x2.。.xn ） = C * （y1，y2.。.yn），把n维向量 x 变换成n维向量 y ，并代入f（x1，x2.。。.xn） 后得到 g（y1，y2.。.yn），而后者的表达式中的二次项中不包含任何交叉二次项 yi*yj（全部都是平方项 yi^2），也即表达式g的二次型矩阵N是对角阵。用公式表示一下 f 和 g ，（下面的表达式中 x 和 y都代表向量，x‘ 和 y’ 代表转置）

　　f = x‘ * M * x ;

　　g = f = x’ * M * x = （Cy）‘ * M * （Cy） = y’ * （C‘MC） * y = y’ * N * y ;

　　因此 C‘MC = N。正交变换法，就是直接将M对角化得到N，而N中对角线的元素就是M的特征值。正交变换法中得到的 C 正好是一个正交矩阵，其每一列都是两两正交的单位向量，因此 C 的作用仅仅是将坐标轴旋转（不会有放缩）。

　　OK，基础知识补充完了，再来说说Harris角点检测中的特征值是怎么回事。这里的 M 是

　　

　　将M对角化后得到矩阵N，他们都是2阶矩阵，且N的对角线元素就是本文中提到的 α 和 β。

　　本来 E（x，y） = A*x^2 + 2*C*x*y + B*y^2 ，而将其标准后得到新的坐标 xp和yp，这时表达式中就不再含有交叉二次项，新表达式如下：

　　E（x，y） = Ep （xp，yp） = α*xp^2 + β*yp^2，

　　我们不妨画出 Ep （xp，yp） = 1 的等高线L ，即

　　α*xp^2 + β*yp^2 = 1 ，

　　可见这正好是（xp，yp）空间的一个椭圆，而α 和 β则分别是该椭圆长、短轴平方的倒数（或者反过来），且长短轴的方向也正好是α 和 β对应的特征向量的方向。由于（x，y）空间只是 （xp，yp）空间的旋转，没有放缩，因此等高线L在（x，y）空间也是一个全等的椭圆，只不过可能是倾斜的。

　　现在就能理解下面的图片中出现的几个椭圆是怎么回事了，图（a）中画的正是高度为 1 的等高线，（其他”高度“处的等高线也是椭圆，只不过长短轴的长度还要乘以一个系数）。其他的几幅图片中可以看到，“平坦”区域由于（高度）变化很慢，等高线（椭圆）就比较大；而”边缘“区域则是在一个轴向上高度变化很快，另一个与之垂直的轴向上高度变化很慢，因此一个轴很长一个轴很短；“角点”区域各个方向高度都变化剧烈，因此椭圆很小。我们人眼可以直观地看到椭圆的大小胖瘦，但如何让计算机识别这三种不同的几何特征呢？为了能区分出角点、边缘和平坦区域我们现在需要用α 和 β构造一个特征表达式，使得这个特征式在三种不同的区域有明显不同的值。一个表现还不错的特征表达式就是：

　　（αβ） - k（α+β）^2

　　表达式中的 k 的值怎么选取呢？它一般是一个远小于 1 的系数，opencv的默认推荐值是 0.04（=0.2的平方），它近似地表达了一个阈值：当椭圆短、长轴的平方之比（亦即α 和 β两个特征值之比）小于这个阈值时，认为该椭圆属于“一个轴很长一个轴很短”，即对应的点会被认为是边缘区域。

　　对于边缘部分，（假设较大的特征值为β）由于 β》》α且α《kβ，因此特征式 ：

　　（αβ） - k（α+β）^2 ≈ αβ - kβ^2 《 （kβ）β - kβ^2 = 0

　　即边缘部分的特征值小于0 ；

　　对于非边缘部分，α 和 β相差不大，可认为 （α+β）^2 ≈ 4αβ，因此特征式：

　　（αβ） - k（α+β）^2 ≈ αβ - 4kαβ = （ 1 - 4k ） * αβ

　　由于 k 远小于1，因此 1 - 4k ≈ 1，这样特征式进一步近似为：

　　（αβ） - k（α+β）^2 ≈ αβ

　　在角点区域，由于α 和 β都较大，对应的特征式的值也就很大；而在平坦区域，特征式的值则很小。

　　因此，三种不同区域的判别依据就是： 如果特征表达式的值为负，则属于边缘区域；如果特征表达式的值较大，则属于角点区域；如果特征表达式的值很小，则是平坦区域。

　　最后，由于αβ和（α+β）正好是M对角化后行列式和迹，再结合上面补充的基础知识第2条中提到的行列式和迹在对角化前后不变，就可以得到 （αβ） - k（α+β）^2 = det（M） - k*Tr（M）^2，这就是Harris检测的表达式。