这样讲傅里叶变换，文科生都懂！

　　从数学的角度，提供一个形象有趣的解释。理解傅里叶变换的钥匙是理解基♂，它能让你重新认识世界。

　　1. 什么是基？

　　假设一个科研所有四个所长（一正三副），四个所长各司其职，把整个科研所的事物管理得井井有条。这四个所长，少一个，单位的工作无法顺利展开，多一个碍手碍脚事倍功半，他们四人一道就组成了科研所的一个“基”。

　　一个单位的基可能不是唯一的，四个人换换位置工作也能展开，调走一个人再换一个人来顶替，单位亦可以正常运转，但是4这个数是不能变化的（数学语言：空间的维数固定不变）。

　　总结：一组基，就是足够能描述、表达某类事物的最少的一小撮元素们。

　　2. 基只有一种形式吗？

　　我们把科研所的日常事务换成感情，把四个所长换成语言字典重新来叙述。

　　假设你爱上了一个人，需要向她表达感情。这时就需要一套表达感情的工具——语言。如果使用汉语，你可以说“我爱你”，如果使用英文，你可以说“I love you”。汉语的所有词汇构成了一个集合，英语的所有词汇也构成了一个集合，它们都可以描述感情、感觉、事物和知识，它们是两套不同的描述系统，分别有自己的基。

　　总结：描述事物的基可以有很多套。

　　3. 如何构造一组基？

　　汉语的词汇量很大，有很多重复意义的词，比如我爱你就可以重新表述为：“俺爱你”，“我爱侬”，“我想和你困觉”等等。我们把汉语词汇中所有同意的词只保留一个（数学语言：使线性无关），留下来的词汇量较少的词典就是汉语的一个基，里面的每一个词被称作基函数。它的特点是：所有汉语能描述的思想都可以用从这个较小的词汇本中挑出的一些词汇（基函数）经过精心安排（加权相加）来描述，并且只有一种描述方式（数学语言：若基固定，则对应系数/坐标确定），因为我们已经去掉了所有冗余的、近似的词汇，因此不存在一个事物在一个基下有两种不同表示法存在。

　　总结：一套基中的元素很多，足够描述事物，只要从中挑出一些你需要的，按某种方式组合在一起即可，一套基中的元素很少，以至于这种描述事物的方法是唯一的。

　　4. 不同基之间有什么联系？

　　给定两个不同的语言，给出两个不同语言的小字典（两组基），我们都可以分别用唯一的方式表达同一思想（函数、点），这两种表示法之间可以相互转换（数学语言：坐标变换）。“I love you”和“我爱你”可以相互转化。

　　总结：给定一个基，我们就可以用这组基表达事物，也可以用它来翻译用其他基描述的事物，不同基下的表示可以相互转换。

　　5. 什么是傅里叶变换？

　　大家还记得三角函数sin和cos吗，就是那种波浪形状的函数，一个波浪的的宽度可以是不同的，既可以像跳大绳一样宽，也可以像电炉丝一样窄（数学语言：频率不同）。把这些三角函数放到一起组成一个字典，就恰好是连续函数的一组基：任何一个连续函数，都可以唯一表示成一群三角函数相叠加。然而每个三角函数的分量有轻有重，相加的时候有的要拉高点，有的要压低点，有的干脆不用（数学语言：加权系数不同）。到底是哪些三角函数呢，各个三角函数的分量如何呢？找到它们的过程，被称为傅里叶变换。

　　举几个例子：

　　下面两个图，左上角是某个函数（信号）的样子，它等于1000个震荡的三角函数相加，中间一列从下往上是这1000个三角函数中第0、1、2、3个，以及中间6、30、160、800个相加的样子，注意好几个三角函数加在一起就不再像是三角函数了。右边一列从下往上是把这些三角函数叠加在一起，1000个加在一起和原函数完全一样，但是前40个三角函数函数加在一起和原函数已经很相似了。

　　从这几个例子可以看出，把一系列震荡的三角函数按照傅里叶系数（权值）进行缩放再加起来，大概40个三角函数加到一起，就和原来的函数长得差不多了，无论原来的那个函数长的有多么奇特。因此我们说：蚂蚁也能撼大树，三角函数多了加到一起，多奇怪的连续函数我长的都能和你是一个样。

　　

　　总结：给你一个函数，找到它的傅里叶变换，就是找到一堆系数，每一个系数对应一个不同频率的三角函数，这些三角函数分别按各自的系数改变振幅（数学语言：确定坐标），然后叠加在一起，恰好就与原来那个函数相等。

　　因此，四个处长是一组基，能维持一个单位的运转，处理各种问题；

　　一套简化的汉语词典是一组基，什么样的情感它都能找到唯一的表达语句；

　　一堆三角函数是一组基，什么样的连续函数都可以用一大堆三角函数叠加获得，找到这种表示的过程叫做傅里叶变换。