RSA加密算法 - rsa公钥加密算法原理分析

　　RSA加密算法

　　RSA加密算法简史

　　RSA是1977年由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。当时他们三人都在麻省理工学院工作。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。

　　公钥与密钥的产生

　　假设Alice想要通过一个不可靠的媒体接收Bob的一条私人讯息。她可以用以下的方式来产生一个公钥和一个私钥：

　　随意选择两个大的质数p和q，p不等于q，计算N=pq。

　　根据欧拉函数，求得r = （p-1）（q-1）

　　选择一个小于 r 的整数 e，求得 e 关于模 r 的模反元素，命名为d。（模反元素存在，当且仅当e与r互质）

　　将 p 和 q 的记录销毁。

　　（N，e）是公钥，（N，d）是私钥。Alice将她的公钥（N，e）传给Bob，而将她的私钥（N，d）藏起来。

　　加密消息

　　假设Bob想给Alice送一个消息m，他知道Alice产生的N和e。他使用起先与Alice约好的格式将m转换为一个小于N的整数n，比如他可以将每一个字转换为这个字的Unicode码，然后将这些数字连在一起组成一个数字。假如他的信息非常长的话，他可以将这个信息分为几段，然后将每一段转换为n。用下面这个公式他可以将n加密为c：

　　ne ≡ c （mod N）

　　计算c并不复杂。Bob算出c后就可以将它传递给Alice。

　　解密消息

　　Alice得到Bob的消息c后就可以利用她的密钥d来解码。她可以用以下这个公式来将c转换为n：

　　cd ≡ n （mod N）

　　得到n后，她可以将原来的信息m重新复原。

　　解码的原理是：

　　cd ≡ n e·d（mod N）

　　以及ed ≡ 1 （mod p-1）和ed ≡ 1 （mod q-1）。由费马小定理可证明（因为p和q是质数）

　　n e·d ≡ n （mod p） 　　和 　n e·d ≡ n （mod q）

　　这说明（因为p和q是不同的质数，所以p和q互质）

　　n e·d ≡ n （mod pq）

　　签名消息

　　RSA也可以用来为一个消息署名。假如甲想给乙传递一个署名的消息的话，那么她可以为她的消息计算一个散列值（Message digest），然后用她的密钥（private key）加密这个散列值并将这个“署名”加在消息的后面。这个消息只有用她的公钥才能被解密。乙获得这个消息后可以用甲的公钥解密这个散列值，然后将这个数据与他自己为这个消息计算的散列值相比较。假如两者相符的话，那么他就可以知道发信人持有甲的密钥，以及这个消息在传播路径上没有被篡改过。

　　编程实践

　　下面，开始我们的重点环节：编程实践。在开始编程前，我们通过计算，来确定公钥和密钥。

　　计算公钥和密钥

　　假设p = 3、q = 11（p，q都是素数即可。），则N = pq = 33；

　　r = （p-1）（q-1） = （3-1）（11-1） = 20；

　　根据模反元素的计算公式，我们可以得出，e·d ≡ 1 （mod 20），即e·d = 20n+1 （n为正整数）；我们假设n=1，则e·d = 21。e、d为正整数，并且e与r互质，则e = 3，d = 7。（两个数交换一下也可以。）

　　到这里，公钥和密钥已经确定。公钥为（N， e） = （33， 3），密钥为（N， d） = （33， 7）。

　　编程实现

　　下面我们使用Java来实现一下加密和解密的过程。具体代码如下：

　　RSA算法实现：

　　［java］ view plaincopy《span style=“font-size:14px;”》package security.rsa;

　　public class RSA {

　　/**

　　* 加密、解密算法

　　* @param key 公钥或密钥

　　* @param message 数据

　　* @return

　　*/

　　public static long rsa（int baseNum， int key， long message）{

　　if（baseNum 《 1 || key 《 1）{

　　return 0L;

　　}

　　//加密或者解密之后的数据

　　long rsaMessage = 0L;

　　//加密核心算法

　　rsaMessage = Math.round（Math.pow（message， key）） % baseNum;

　　return rsaMessage;

　　}

　　public static void main（String［］ args）{

　　//基数

　　int baseNum = 3 * 11;

　　//公钥

　　int keyE = 3;

　　//密钥

　　int keyD = 7;

　　//未加密的数据

　　long msg = 24L;

　　//加密后的数据

　　long encodeMsg = rsa（baseNum， keyE， msg）;

　　//解密后的数据

　　long decodeMsg = rsa（baseNum， keyD， encodeMsg）;

　　System.out.println（“加密前：” + msg）;

　　System.out.println（“加密后：” + encodeMsg）;

　　System.out.println（“解密后：” + decodeMsg）;

　　}

　　《/span》

　　}